Question

dada uma elipse de semi-eixos a e b, calcule em termos destes parametros a área do quadrado nela inscrito com lados paralelos ao eixo

Answer 1

Imagine uma elipse cujo centro encontra-se no ponto (0,0). O quadrado inscrito na elipse com lados paralelos aos eixos também terá seu centro em (0,0). O vértice pertence à elipse e sua ordenada será igual sua abcissa. A partir da equação da elipse podemos obter o vértice, cuja coordenada equivale à metade do valor do lado do quadrado:

x²/a² + y²/b² = 1

Como x = y no vértice:

x²/a² + x²/b² = 1         (x a².b²)
b².x² + a².x² = a².b²
(a² + b²).x² = a².b²
x² = a².b²/(a² + b²)

A área do quadrado será igual ao quadrado do seu lado. Se x é a metade, o lado vale 2.x e a área 4.x²:

A = 4.x² = 4.a².b²/(a² + b²).