Question

A raízes positivas da equação x^4 - 10x² + 9 = 0 são as medidas das bases de um trapézio isósceles cuja altura é a soma dessas mesmas raízes.

A área desse trapézio é?

a) 4 (eu marquei)
b) 8 (RESPOSTA CERTA)
c)10
d)25

Fiz esta conta e marquei a alternativa (a) porém no gabarito a correta é (b). Como faço para chegar neste resultado?

Answer 1

$\mathrm{Ra\acute{i}zes:}\\\\x^4-10x^2+9=0\\\\(x^2)^2-10x^2+9=0\\\\x^2=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot(1)\cdot(9)}}{2(1)}\\\\\\x^2=\dfrac{10\pm\sqrt{100-36}}{2}\\\\\\x^2=\dfrac{10\pm8}{2}\left\langle\begin{matrix}x^2=9\longrightarrow{x}=\sqrt{9}\longrightarrow{x}=\pm3\\\\x^2=1\longrightarrow{x}=\sqrt{1}\longrightarrow{x}=\pm1\end{matrix}\right\\\\\\\mathrm{Apenas\ }+1\mathrm{\ e\ }+3\mathrm{\ satisfazem\ }\mathrm{a\ condi\text{\c{c}}\tilde{a}o\ }x\in\mathbb{R_{+}}.$


$\text{Portanto:}\\\\\text{Base maior: }B=3\ \text{unidades};\\\text{Base menor: }b=1\ \text{unidades};\\\text{Altura: }h=1+3=4\ \text{unidades}.\\\\\\\mathrm{F\acute{o}rmula\ da\ \acute{a}rea\ do\ trap\acute{e}zio:}\\\\A_T=\dfrac{(B+b)\cdot{h}}{2}\\\\\\\mathrm{Substituindo\ os\ valores,\ temos:}\\\\A_T=\dfrac{(B+b)\cdot{h}}{2}\\\\\\A_T=\dfrac{(3+1)\cdot4}{2}\longrightarrow{A}_T=(4)\cdot2\longrightarrow\boxed{{A}_T=8\ \text{unidades quadradas}}\\\\\\\text{Alternativa b).}$