Question

Usando a definição, determine a função primeira e a derivada no ponto indicado.
f(x)= x^2 -3x +2 e f'(-1)

Answer 1

A questão pede o cálculo da derivada a partir da definição de limites, seja f(x) uma função contínua num intervalo (a, b), a função que representa sua derivada é a função definida pelo limite abaixo

$f'(x)=\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Quando o limite existe, a derivada existe e vale f'(x).

Exercício

Seja o polinômio (e portanto contínuo em todo domínio) definido por $f(x)=x^2-3x+2$, assim, a função derivada de f é, pela definição, o limite

$f'(x)= \displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{(x+h)^2-3(x+h)+2-(x^2-3x+2)}{h}$

Expandindo os termos, obtemos

$f'(x)= \displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{x^2+2xh+h^2-3x-3h+2-x^2+3x-2}{h}$

Perceba que existem termos que se cancelam, restando apenas

$f'(x)= \displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0} \dfrac{2xh+h^2-3h}{h}$

Como todos os termos multiplicam h, podemos dividir por h todos os termos, resultando

$f'(x)= \displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0} 2x+h-3$

Cujo limite é

$f'(x)= 2x-3$

Assim, o valor de

$f'(-1)=2*(-1)-3 = -5$