Question

Uma moeda é viciada de tal forma que cara é duas vezes mais provável de ocorrer que coroa. Se a moeda é jogada três vezes, encontre: A distribuição de probabilidades do número de caras; O valor esperado; O desvio padrão;

 

Answer 1

Olá, Heddu.

 

Primeiramente, como a moeda é viciada, vamos calcular as probabilidades  $P(cara)=x, P(coroa)=y$, lembrando que, se a moeda não fosse viciada, teríamos  $P(cara)=P(coroa)=\frac12$

 

$<var>\begin{cases}x+y=1 \\ x=2y \end{cases} \Rightarrow 2y+y=1 \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y=\frac13 \Rightarrow x = \frac23 </var>$

 

$<var>\Rightarrow P(cara)=x=\frac23\ e\ P(coroa)=y=\frac13</var>$

 

Seja X uma variável aleatória discreta tal que cada valor seu seja a quantidade de vezes que sai cara nas 3 jogadas. Portanto:

 

$<var>P(X=0)=(\frac13)^3=\frac1{27} \begin{cases}coroa,coroa,coroa\end{cases}\\\\ P(X=1)=3 \times \frac23 \cdot (\frac13 )^2=\frac23 \cdot \frac19=\frac6{27} \begin{cases}cara,coroa,coroa\\coroa,cara,coroa\\coroa,coroa,cara\end{cases}\\\\ P(X=2)=3\times (\frac23)^2 \cdot (\frac13)=\frac49 \cdot (\frac13) = \frac{12}{27} \begin{cases}cara,cara,coroa\\cara,coroa,cara\\coroa,cara,cara\end{cases}\\\\ P(X=3)=(\frac23)^3=\frac8{27} \begin{cases}cara,cara,cara\end{cases}</var>$

 

O valor esperado da variável aleatória X é dado pela seguinte estatística:

 

$<var>E(X) = \sum\limits^{3}_{i=0}x_i \cdot P(X=x_i)=\\\\=0 \cdot P(X=0)+1 \cdot P(X=1)+2 \cdot P(X=2)+3 \cdot P(X=3)=\\\\=\frac6{27}+2\cdot\frac{12}{27}+ 3 \cdot \frac8{27}=\frac6{27}+\frac{24}{27}+\frac{24}{27}=\frac{54}{27} \Rightarrow \boxed{E(X)=2} </var>$

 

Para o cálculo da variância, vamos utilizar a fórmula  $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.$

 

No cálculo de  $E(X^2)$  os eventos se alteram mas as probabilidades continuam as mesmas. Assim:

 

 $<var>E(X^2)= \sum\limits^{3}_{i=0}x_i^2 \cdot P(X=x_i^2)=\\\\ =0 \cdot P(X=0)+1 \cdot P(X=1)+4 \cdot P(X=4)+9 \cdot P(X=9)=\\\\ =\frac6{27}+4\cdot\frac{12}{27}+ 9 \cdot \frac8{27}=\frac6{27}+\frac{48}{27}+\frac{72}{27}=\frac{126}{27} =\frac{14}3</var>$

 

Assim:

 

$<var>Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{14}3-2^2=\frac{14-12}{3}=\frac23</var>$

 

Finalizando, o desvio-padrão é:

 

$<var>s=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{\frac23}=\sqrt{\frac{2\cdot3}{3 \cdot 3}} \Rightarrow \boxed{s=\frac{\sqrt6}3}</var>$