Question

Considerando a função f(x,y)=4x²-2xy+y², o ponto critico (0,0) é:
Sugestão: calcule fxx(0,0).fyy(0,0)-[fxy(0,0)]².
Alternativas:
a) máximo relativo.
b) mínimo relativo.
c)nada se conclui.
d) máximo absoluto.
e) ponto de sela.

Answer 1

Hallemos las primeras derivadas
                                   $f_x=8x-2y\\ f_y=-2x+2y$

Puntos estacionarios (ou críticos)
                  $8x-2y=0\wedge-2x+2y=0\to (x,y)=(0,0)$

Criterio de la segunda derivada
          $f_{xx}=8\ \textgreater \ 0\\ f_{xy}=-2=f_{yx}\\ f_{yy}=2\\ \\ \Delta_2=f_{xx}\cdot f_{yy}-f_{xy}^2\\ \\ \Delta_2=8\cdot 2-(-2)^2=12\ \textgreater \ 0$  

Por ende $d^2f(0,0)\ \textgreater \ 0$ , esto quiere decir que (0,0) es un mínimo absoluto, ya que es el único punto estacionario

Respuesta: (b)