Question

a funçaõ dada por F(x)=-2 x²+4, construa o diagrama de setas e gráfico da função

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para construir o diagrama de setas e o gráfico da função abaixo:

f(x) = - 2x² + 4

Agora vamos por parte, procurando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Vamos construir um diagrama de setas, dando-se valores a "x" (domínio) e obtendo os valores de "f(x)" ou "y" (contradomínio/conjunto-imagem). Assim, faremos:


Valores de "x" --- Valores de "f(x)" ou "y"
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .  (-2) ------------------> - 4
. . . (-1) ------------------> 2
. . . (0) -------------------> 4
. . . (1) ------------------> 2
. . . (2) ------------------> - 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Veja que se trata de uma função, pois cada elemento do primeiro conjunto (valores de "x") vai apenas  em um elemento do segundo conjunto (valores de "f(x)" ou "y"). Note, a propósito, que há valores do segundo conjunto (valores de "f(x)" ou "y") que são flechados mais de uma vez por elementos do primeiro conjunto. Mas isso não desfaz a característica de uma função. Ela é uma função sobrejetora.
Atente que o domínio da função são todos os Reais, pois "x" poderá ser qualquer número real.
Por sua vez, o contradomínio/conjunto-imagem serão todos os f(x) pertencentes aos Reais que sejam MENORES ou IGUAIS ao "y" do vértice (yv) da parábola. E, considerando que o "yv" é igual a "4", então o contradomínio/conjunto-imagem da função serão todos os f(x) MENORES OU IGUAIS a "4".


ii) Bem, agora, vamos construir o gráfico da função f(x) = - 2x² + 4.
Para isso, procederemos da seguinte forma:


ii.a) Observamos qual é o sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²). Se o termo "a" for positivo, então teremos um ponto de mínimo. E se o termo "a" for negativo, então teremos um ponto de máximo.
Como o termo "a" da função f(x) = - 2x² + 4 é negativo, então teremos um ponto de máximo. Assim, já sabemos que a parábola tem a concavidade voltada pra baixo.


ii.b) Encontramos as raízes da função dada, para saber em que pontos o gráfico (parábola) cortará o eixo dos "x". Para isso, fazemos f(x) = 0. Assim, teremos;

- 2x² + 4 = 0 ----- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos:

- x² + 2 = 0
- x² = - 2 ------ multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
x² = 2
x = + - √(2)  ---- ou seja, as raízes da função são:

x' = - √(2)
x'' = √(2)

Dessa forma, a função cortará o eixo dos "x" exatamente nos locais das suas  duas raízes (x' = -√2 e x'' = √2 ).


ii.c) Encontramos onde a função f(x) = - 2x² + 4 cortará o eixo dos "y".
Para isso, basta fazer "x" = 0. Assim, fazendo isso, teremos;
f(0) = -2*0² + 4
f(0) = -2*0 + 4
f(0) = 0 + 4
f(0) = 4 <----- Este é o valor de "y" em que o gráfico (parábola) cortará o eixo dos "y". Ou seja, para x = 0, teremos y = 4.
Assim, também já sabemos em que ponto o eixo dos "y" será cortado pela parábola.


ii.d) Encontramos os valores do "x" do vértice (xv) e "y" do vértice (yv), elas seguintes fórmulas:

xv = - b/2a ------ considerando que a função é f(x) = - 2x²+ 4, veja que o termo "b" (que seria o coeficiente de x) é inexistente. Logo, consideramos que ele é zero. E o termo "a" é "-2". Assim, fazendo essas substituições, teremos:

xv = -0/2*(-2)
xv = 0/-4
xv = 0 <----- Este é o valor do "x" do vértice.

yv = - (b²- 4ac)/4a ----- substituindo-se "b" por "0", "a" por "-2" e "c" por "4", teremos:

yv = - (0² - 4*(-2)*4))/4*(-2)
yv = - (0 + 32)/-8 --- ou apenas:
yv = - 32/-8 ----- como, na divisão, menos com menos dá mais, então:
yv = 32/8
yv = 4 <---- Este é o valor do "y" do vértice.

Assim, o vértice da parábola (xv; yv) será o ponto: (0; 4)


ii.e) Dessa forma, você já tem tudo para construir o gráfico da função dada.
Apenas pra você ter uma ideia, veja o gráfico desta função no endereço abaixo, já que aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos.
Veja lá e constate tudo o que dissemos sobre a função dada:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+-+2x%C2%B2+%2B+4


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.