Question

Na delegacia de policia do município São Jose da Paz, o delegado sempre pede ás duas partes litigantes que vai ouvir que se sentem de modo que entre elas
haja, pelo menos, duas cadeiras livres, para evitar assim, agressões físicas. Se na recepção da delegacia, existe uma fileira com dez cadeiras, assinale a opção que apresenta a quantidade de formas que os dois litigantes poderão sentar para atender ao que determina a autoridade policial

Answer 1

=> Temos 10 cadeiras ....para sentar 2 pessoas

...restrição: haver PELO MENOS 2 cadeiras livres entre as 2 pessoas


Resolvendo:

Vamos considerar 1 pessoa sentada e as 2 cadeiras livres ....como um só lugar

assim considerando a pessoa sentada como "P1" e as 2 cadeiras livres como "2C" teremos ....e "x" como lugares a não considerar no calculo individual (só para facilitar o raciocínio)

|P1|2C|2C|_|_|_|_|_|_|_| <--- restam 7 possibilidades para a 2ª pessoa

|x|P1|2C|2C|_|_|_|_|_|_| <--- restam 6 possibilidades para a 2ª pessoa

|x|x|P1|2C|2C|_|_|_|_|_| <--- restam 5 possibilidades para a 2ª pessoa

|x|x|x|P1|2C|2C|_|_|_|_|<--- restam 4 possibilidades para a 2ª pessoa

|x|x|x|x|P1|2C|2C|_|_|_|<--- restam 3 possibilidades para a 2ª pessoa

|x|x|x|x|x|P1|2C|2C|_|_|<--- restam 2 possibilidades para a 2ª pessoa

|x|x|x|x|x|x|P1|2C|2C|_|<--- restam 1 possibilidades para a 2ª pessoa

até aqui já temos 28 possibilidades (de 7+6+5+4+3+2+1= 28)

Mas também temos uma possibilidade de "permutação interna" do grupo "1 pessoa + 2 cadeiras" que pode ter a também a sequência 2C, 2C, P1 ...donde resulta:

|_|_|_|_|_|_|_|C2|2C|P1| <--- restam 7 possibilidades para a 2ª pessoa

|_|_|_|_|_|_|C2|2C|P1|x| <--- restam 6 possibilidades para a 2ª pessoa

|_|_|_|_|_|C2|2C|P1|x|x| <--- restam 5 possibilidades para a 2ª pessoa

|_|_|_|_|C2|2C|P1|x|x|x| <--- restam 4 possibilidades para a 2ª pessoa

|_|_|_|C2|2C|P1|x|x|x|x| <--- restam 3 possibilidades para a 2ª pessoa

|_|_|C2|2C|P1|x|x|x|x|x| <--- restam 2 possibilidades para a 2ª pessoa

|_|C2|2C|P1|x|x|x|x|x|x| <--- restam 1 possibilidades para a 2ª pessoa

Temos novamente 28 possibilidades 

Assim o total (N) de formas de sentar 2 pessoas em 10 cadeiras mantendo 2 cadeiras de intervalo será dado por:

N = 28 + 28

N = 56 <--- resultado pedido


Espero ter ajudado

Answer 2

Perceba que em 10 cadeiras somente 8 serão utilizadas 2 a 2.
Como A -  - B  é diferente de B -  -  A , onde A e B representam as duas pessoas,  então temos um arranjo.
An,p = n!/(n-p)!
A8,2 = 8!(8-2)! = 8!/6! = 8 .7. 6!/6! = 56

A - - - - - - - - -  7 opções para B
- A - - - - - - - -  6 opções para B
-  - A - - - - - - - 5 opções para B
-  - - A - - - - - - 4 opçoes para B
- - - - A - - - - -  3 opçoes para B
- - - - - A - - - -  2 opções para B
- - - - - -A - - -   1 opçoes para B
Total 28 Invertendo A e B são outras  28 posições.
Total 56 modos distintos de se sentarem.