Respostas
Resposta:
i) Pede-se para determinar o valor do seno, do cosseno e da tangente de um triângulo retângulo cujos catetos medem: 6cm e 4cm.
ii) Veja: primeiro vamos encontrar a hipotenusa (a). Lembre-se que, por Pitágoras, tem-se que a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado. Assim, teremos:
a² = 6² + 4²
a² = 36 + 16
a² = 52
a = ± √(52) ---- note que 52 = 4*13 = 2²*13. Assim, ficaremos com:
a = ± √(2²*13) ---- como o "2" está elevado ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos com:
a = ± 2√(13) ----- mas como a medida da hipotenusa não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:
a = 2√(13) cm <--- Esta é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo da sua questão.
iii) Agora vamos considerar que o triângulo retângulo da sua questão será o triângulo ABC, retângulo em B, cujos lados são estes:
hipotenusa (lado AC) = 2√(13) cm.
cateto "1" (lado AB) = 6 cm
cateto "2" (lado BC) = 4 cm.
iv) Agora vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente de cada ângulo agudo desse triângulo.
iv.1) Cálculo do seno do ângulo C
sen(C) = cateto oposto/hipotenusa --- substituindo-se o cateto oposto por "6" e a hipotenusa por 2√(13), teremos:
sen(C) = 6 / 2√(13) ---- simplificando-se logo numerador e denominador por "2", iremos ficar apenas com:
sen(C) = 3 / √(13) --- para racionalizar, vamos multiplicar numerador e denominador por √(13). Fazendo isso, teremos:
sen(C) = 3√(13) / √(13)*√(13) --- desenvolvendo, temos:
sen(C) = 3√(13) / √(13*13)
sen(C) = 3√(13) / √(169) ---- como √(169) = 13, teremos:
sen(C) = 3√(13) / 13 <--- Este é o valor do seno do ângulo C.
iv.2) Cálculo do cosseno do ângulo C.
cos(C) = cateto adjacente / hipotenusa. Substituindo-se cateto adjacente por "4" e a hipotenusa por 2√(13), teremos:
cos(C) = 4 / 2√(13) ---- simplificando-se logo numerador e denominador por "2", teremos:
cos(C) = 2 / √(13) --- racionalizando, teremos:
cos(C) = 2*√(13) / √(13)*√(13)
cos(C) = 2√(13) / √(13*13)
cos(C) = 2√(13) / √√(169) ---- como √(169) = 13, teremos;
cos(C) = 2√(13) / 13 <--- Este é o valor de cos(C).
iv.3) Cálculo da tangente de C.
tan(C) = cateto oposto/cateto adjacente ---- substituindo-se cateto oposto por "6" e cateto adjacente por "4", teremos:
tan(C) = 6/4 --- simplificando-se numerador e denominador por "2", temos:
tan(C) = 3/2 <--- Este é o valor da tangente do ângulo C.
iv.4) Cálculo do seno de A:
sen(A) = cateto oposto/hipotenusa --- substituindo-se cateto oposto por "4" e a hipotenusa por "2√(13)", teremos:
sen(A) = 4 / 2√(13) --- simplificando-se logo numerador e denominador por "2", ficaremos com:
sen(A) = 2 / √(13) --- racionalizando, teremos:
sen(A) = 2*√(13) / √(13)*√(13) ---- desenvolvendo, temos:
sen(A) = 2√(13) / 13 <--- Este é o valor do seno do ângulo A.
iv.5) Cálculo do cosseno do ângulo A:
cos(A) = cateto adjacente/hipotenusa ---- substituindo-se cateto adjacente por "6" e a hipotenusa por "2√(13)", teremos:
cos(A) = 6 / 2√(13) --- simplificando-se logo numerador e denominador por "2", iremos ficar com:
cos(A) = 3 / √(13) ---- racionalizando, teremos:
cos(A) = 3*√(13) / √(13)*√(13) ---- desenvolvendo, teremos:
cos(A) = 3√(13) / 13 <--- Este é o valor do cosseno do ângulo A.
iv.6) Cálculo da tangente do ângulo A:
tan(A) = cateto oposto / cateto adjacente ---- substituindo-se cateto oposto por "4" e cateto adjacente por "6", teremos:
tan(A) = 4 / 6 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:
tan(A) = 2/3 <--- Este é o valor da tangente do ângulo A.
v) Assim, resumindo, teremos que:
sen(C) = 3√(13) / 13
cos(C) = 2√(13) / 13
tan(C) = 3/2
sen(A) = 2√(13) / 13
cos(A) = 3√(13) / 13
tan(A) = 2/3.