Question

Considere um triangulo equilatero abc de lado l circunscrito a um circulo de centro o e raio r.Considere ainda, que ao circulo, esteja inscrito outro triangulo,MNP,também equilátero. Assim a altura de MNP, em função de L,será?

Answer 1

O raio do círculo corresponde a 1/3 da altura do triângulo circunscrito e a 2/3 do triângulo inscrito.
Denominando x a altura do triângulo inscrito e h a altura do circunscrito, temos:

2x/3 = h/3

Porém, no triângulo equilátero h = (L.raiz3)/2
x = h/2
x = (L.raiz3)/4.

Answer 2

Seja "L" o lado do ΔABC
Traçando do vértice "A" uma perpendicular ao lado BC a mesma também será altura, bissetriz e mediana. Por ser mediana a distância do centro "O", do círculo, ao ponto "D" será 1/3 da mesma e  vale o raio (R) de tal círculo. Assim sabendo que altura = L√3/2 concluímos que  R = [L√3/2]/3 = L√3/6
Considerando que o ΔMNP está inscrito no círculo de raio R:
lado ΔMNP = R√3 ⇒ lado = [L√3/6]√3 ⇒ lado 3L/6 ⇒ lado = L/2
como altura (h)  ΔMNP  = lado√3/2 ⇒ h =[ L/2]√3/2 ⇒ h = L√3/4
Resposta: altura ΔMNP = L√3/4