Question

Considere as funções f(x) = log x^2 na base 3 e g(x) = log de 1/x na base 3,definidas para todo X > 0.

a - Resolva as duas equações : f(x) = 1 e g(x) = -3


b - Mostre que 1 + f(x) + g(x) = 1 + log de x na base 3

Answer 1

Vamos lá.

Para x > 0, e sabendo-se que:

f(x) = log₃ (x²)
e
g(x) = log₃ (1/x),

pede-se;


a) Resolver as duas equações acima para f(x) = 1 e para g(x) = - 3.
Assim, teremos:

f(x) = log₃ (x²) ------ substituindo-se f(x) por "1", teremos:
1 = log₃ (x²) ----- ou, o que é a mesma coisa:
log₃ (x²) = 1 ----- note que isto é a mesma coisa que:

3¹ = x² ------ ou, o que é a mesma coisa:
x² = 3
x = +- √(3) ----- ou, seja:
 
x' = - √(3) ----- raiz descartada, pois "x" tem que ser maior que zero.
x'' = √(3) <--- Raiz válida. Ou seja, este é o valor de "x" para f(x) = 1.

 g(x) = log₃ (1/x) ------ substituindo-se g(x) por "-3", teremos:
-3 = log₃ (1/x) ----- ou, o que é a mesma coisa:
log₃ (1/x) = - 3 ------ note que isto é a mesma coisa que:

3⁻³ = 1/x ----- note que 3⁻³ = 1/3³ = 1/27. Assim:

1/27 = 1/x ------- multiplicando em cruz, teremos:
x*1 = 27*1
x = 27 <----- Este é o valor de "x" para g(x) = - 3.


b) Mostre que:

1 + f(x) + g(x) = 1 + log₃ (x)

Vamos, então, substituir f(x) e g(x) por suas representações, e vamos tentar chegar ao 2º membro, que é este: 1 + log₃ (x).

Portanto, vamos trabalhar com o que foi dado e tentar chegar ao 2º membro. Assim, igualando a um certo "n" a expressão com que iremos trabalhar, temos:

n = 1 + log₃ (x²) + log₃ (1/x) ------ veja que a soma de log transforma-se em produto, ficando:

n = 1 + log₃ (x²*1/x)
n = 1 + log₃ (x²/x) ------ veja que x²/x = x. Assim, ficaremos com:
n = 1 + log₃ (x)  <----- Pronto. Chegamos no 2º membro, que era o que queríamos.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.