Question

Álgebra (Grupos): Considere o conjunto A= { $a+b \sqrt{3}$ / a, b ∈ Q}, mostre que:

a) (A,+) é um subgrupo de (R, +);

b) (A\{0}, . ) é um subgrupo de (R\{0}, . )

Answer 1

1) $A\subset \mathbb R$
2) Veamos si A es un grupo
2.1) Asociatividad en +: Sean $p,q \in A$, donde
               $p=a_1+b_1\sqrt{3}\;,\;q=a_2+b_2\sqrt{3}$

$p+q=(a_1+b_1\sqrt{3})+(a_2+b_2\sqrt{3})\\ p+q=(a_1+b_1\sqrt{3})+(b_2\sqrt{3}+a_2)\\ p+q=a_1+(b_1\sqrt{3}+b_2\sqrt{3})+a_2\\ p+q=a_1+a_2+(b_1\sqrt{3}+b_2\sqrt{3})\\ p+q=a_1+a_2+(b_1+b_2)\sqrt{3}\\ p+q\in A$

y es fácil ver luego que p+q = q+p

2.2) Elemento neutro de p es 0, puesto que p + 0 = 0 + p = p

2.3) El elemento inverso en + de $p\in A$ es $-p\in A$ donde
                                         $p+(-p)=0\in A$

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b)
1) $A \backslash \{0\} \subset \mathbb R \backslash \{0\}$
2) 
2.1) Asociatividad
$p\cdot q =(a_1+\sqrt{3}b_1)\cdot (a_2+\sqrt{3}b_2)\\ \\ p\cdot q = (a_1a_2+3b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt3\in A$

Y es fácil ver que $p\cdot q=q\cdot p$

2.2) elemento neutro (I)
                            $p\cdot I=p\\ \\ I=1\\ \\ I=1+0\sqrt{3}$

2.3) Elemento inverso
$p \cdot p^{-1}=1\\ \\ p^{-1}=\dfrac{1}{p}\\ \\ p^{-1}=\dfrac{1}{a_1+b_1\sqrt3}\\ \\ \\ p^{-1}=\dfrac{a_1-b_1\sqrt3}{a_1^2-3b_1^2}\\ \\ p^{-1}=a'+b'\sqrt{3}\in A$