Question

seja P(x) um polinômio do 3° grau que admite as raízes x=1 e x=1-i. dessa forma, pode-se afirmar que a expressão desse polinomio é

Answer 1

Se 1-i é raiz então o seu conjugado 1+i também é raiz do polinômio. Então as três raízes de P(x) são x1 = 1, x2 = 1-i e x3 = 1+i. Desenvolvendo a forma fatorada temos:

P(x) = (x-1)(x+1-i)(x-1-i)
P(x) = x³-3x²+4x-2

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Miguel, que é simples.

Antes de iniciar, veja que uma função do 3º grau, da forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d, com raízes iguais a: x', x'' e x''', ela poderá ser simplificada em função de suas raízes da seguinte forma:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''') ------ considerando que o termo "a" seja igual a "1", então teríamos:

1*x³ + bx² + cx + d = 1*(x-x')*(x-x'')*(x-x''') ---- ou apenas:
x³ + bx² + cx + d = (x-x')*(x-x'')*(x-x''') .


Bem, tendo, portanto, a relação acima como parâmetro, então vamos resolver a sua questão.
Tem-se que um polinômio do terceiro grau tem raízes iguais a:

x' = 1
e
x'' = 1-i.

Agora veja isto, que é importante: as raízes complexas de um polinômio qualquer SEMPRE surgem aos pares. Se uma raiz complexa é igual a "1-i", então o conjugado dessa raiz complexa também será raiz. Logo, como o conjugado de "1-i" é "1+i", logo deveremos ter as seguintes raízes:

x' = 1
x'' = 1-i
x''' = 1+i .

Bem, agora, vamos encontrar qual será esse polinômio P(x), do terceiro grau.
Vamos considerar que o termo "a" seja igual a "1" e, assim, será bem mais fácil encontrarmos o polinômio. Assim, simplificando P(x) em função de suas raízes (e considerando que o termo "a" seja igual a "1"), teremos:

P(x) = 1*(x-1)*(x-(1-i))*(x-(1+i)) ------ desenvolvendo, teremos:
P(x) = (x-1)*(x-1+i)*(x-1-i) ----- continuando o desenvolvimento, temos:
P(x) = x³ - 3x² + 4x - 2 <---- Esta é a resposta. Esta é a escrita correta do polinômio P(x) da sua questão, considerando o termo "a" igual a "1", como explicamos antes.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.