Question

Uma barra de aço e um anel de alumínio estão a 20°C. A barra possui um diâmetro de 3,000 cm, e o diâmetro interno do anel é de 2,994 cm. Sendo ambos igualmente aquecidos, a que temperatura mínima a barra poderá ser introduzida no anel? Considere α (aço) = 11 x 10¯⁶ °C ¯¹ e α (alumínio) = 23 x 10¯⁶ °C ¯¹.

Answer 1

Trata-se de uma variação superficial, ou seja, de área. Como ele quer que aumente o diâmetro, isso só é possível caso aumente também a superfície de contato da barra e do anel. Logo, os coeficientes de dilatação linear serão substituídos pelos coeficientes de dilatação superficial (é só multiplicar por 2).

Coeficiente de dilatação superficial do aço = 2*11*10^-6 = 22*10^-6
Coeficiente de dilatação superficial do alumínio = 2*23*10^-6 = 46*10^-6

A lógica da questão é a seguinte:

Área da barra = Ab
Dilatação da barra = Δb
Área do anel = Aa
Dilatação do anel = Δa

Ab + Δb = Aa + Δa
Ab + (Abf - Ab) = Aa + (Aaf - Aa)
Ab + Abf – Ab = Aa + Aaf – Aa
Abf = Aaf (Área final da barra = Área final do anel)

Variação de temperatura (Δt) = (Tf - 20)
Temperatura final = Tf

Diâmetro da barra = 3cm = 3*10^2 metros
Raio = Diâmetro / 2
Rb = 3*10^-2 / 2
Rb = 1,5*10^-2 metros
Área do círculo = π*r² (pi * raio²)
 
Ab = π(1,5*10^-2)²

Diâmetro do anel = 2,994cm = 2,994*10^-2 metros
Ra = 2,994*10^-2/2
Ra = 1,497*10^-2 metros
Aa = π(1,497*10^-2)²

Δ = Ab*β*ΔT (Δ = dilatação)

Δb = Dilatação da barra
Δb = Abf – Ab
Abf – Ab = Ab*β*ΔT
Abf = Ab + Ab*β*ΔT
Abf = Ab*(1 + β*ΔT)
Abf = π(1,5*10^-2)² * (1 + β*ΔT)
Abf = π(1,5*10^-2)² * (1 + 22*10^-6*ΔT)

Δa = Dilatação do anel
Δa = Aaf – Aa
Aaf = Aa + Aa*β*ΔT
Aaf = Aa(1 + β*ΔT)
Aaf = π(1,497*10^-2)² *(1 + β*ΔT)
Aaf = π(1,497*10^-2)² *(1 + 46*10^-6*ΔT)

Agora vamos igualar as duas equações: Abf = Aaf

π(1,5*10^-2)² * (1 + 22*10^-6*ΔT) = π(1,497*10^-2)² *(1 + 46*10^-6*ΔT)
π*1,5*1,5 *10-4*(1 + 22*10^-6*ΔT) = π*1,497*1,497*10^-4*(1 + 46*10^-6*ΔT)
(Cortei os dois π e passei os 1,5*1,5 pro outro lado dividindo)
(1,497² / 1,5² = 0,998²)
1 + 22*10^-6*ΔT = 0,998²*(1 + 46*10^-6*ΔT)
1 + 22*10^-6*ΔT = 0,998² + 0,998²*46*10^-6*ΔT 
1 – 0,998² + 22*10^-6*ΔT = 0,998²*46*10^-6*ΔT 
0,003996 + 22*10^-6*ΔT = 0,998²*46*10^-6*ΔT 
0,003996 + 22*10^-6*ΔT = 45,816184*10^-6*ΔT 
0,003996 = 45,816184*10^-6*ΔT - 22*10^-6*ΔT 
0,003996 = 23,816184*10^-6*ΔT 
ΔT = 0,003996/23,816184*10^-6
ΔT = 0,000167785*10^6
ΔT = 167,7 °C

Δt = (Tf - 20)
Tf – 20 = 167,7
Tf = 167,7 + 20
Tf = 187,7°C

R: A temperatura mínima para que as duas áreas tenham o mesmo tamanho afim de se encaixarem é de 187,7°C aproximadamente.

Desculpe o tamanho do cálculo, qualquer dúvida, só perguntar.