Question

considere-se a função em r definida por f(x) = m+logx base n; m pertence aos reais e n pertence aos reais, n diferente de 1. sabendo-se que f(3) =0 e f(3/10)=-1, pode se afirmar que f ^-1 (2) é:

Answer 1

$f(x) = m+log_{n}x \\\\ f(3) = m+log_{n}3 \\\\ \boxed{m+log_{n}3 = 0}$

Substituindo a outra informação:

$f(x) = m+log_{n}x \\\\ f(\frac{3}{10}) = m+ log_{n}\frac{3}{10} \\\\ \boxed{m+log_{n}\frac{3}{10} = -1}$

Resolvendo o sistema:

$\left\{\begin{matrix} m+log_{n}3 = 0 & \\ m+log_{n}\frac{3}{10} = -1 & \end{matrix}\right. \\\\\\ log_{n}3-log_{n}\frac{3}{10} = 1 \\\\ log_{n}3 - log_{n}3+log_{n}10 = 1 \\\\ log_{n}10 = 1 \\\\ n^{1} = 10 \\\\ \boxed{n = 10}$

Voltando em uma das equações:

$m+log_{n}3 = 0 \\\\ m+log_{10}3 = 0 \\\\ \boxed{m = -log_{10}3}$

Agora podemos calcular a inversa:

$f(x) = -log_{10}3+log_{10}x \\\\ x = -log_{10}3+log_{10}y \\\\ log_{10}y = x+log_{10}3 \\\\ 10^{x+log_{10}3} = y \\\\ \boxed{f(x)^{-1} = 10^{x+log_{10}3}}$

Substituindo:

$f(x)^{-1} = 10^{x+log_{10}3} \\\\ f(2)^{-1} = 10^{2+log_{10}3} \\\\ f(2)^{-1} = 10^{log_{10}10^{2}+log_{10}3} \\\\ f(2)^{-1} = 10^{log_{10}3 \cdot 10^{2}} \\\\ f(2)^{-1} = 3 \cdot 10^{2} \\\\ \boxed{\boxed{f(2)^{-1} = 300}}$

Answer 2

Vamos lá.

A resposta do João Gabriel está correta.
Mas como você está informando que deixou de entender algumas passagens, então vamos tentar resolver.

Pede-se o valor de f⁻¹(2), sabendo-se que:

f(3) = 0 e f(3/10) = - 1 , considerando a seguinte função logarítmica:

f(x) = m + log ̼ (x)

Bem. Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


i) Vamos encontrar f(3) = 0. Para isso, iremos na função f(x) = m + log ̼ (x) e substituiremos o "x" por "3" e o f(x) por zero, ficando assim:

m + log ̼ (3) = 0      . (I)


ii) Vamos encontrar f(3/10) = - 1. Para isso, vamos na função
f(x) = m + log ̼ (x) e substituiremos o "x' por "3/10" e f(x) por "-1".
Assim:

m + log ̼ (3/10) = - 1     . (II)


iii) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) acima por "-1" e, em seguida somaremos, membro a membro, com a expressão (I). Assim, teremos:

..m + log ̼ (3) = 0 ------ [esta é a expressão (I) normal]
-m - log ̼ (3/10) = 1 -----[esta é a expressão (II) multiplicada por "-1]
--------------------------------- somando membro a membro, temos:
0 + log ̼ (3) - log ̼ (3/10) = 1 ---- ou apenas:

log ̼ (3) - log ̼ (3/10) = 1

Note que log ̼ (3/10) poderá ser substituído por: log ̼ (3) - log ̼ (10), pois a divisão transforma-se em subtração . Assim, fazendo esta substituição, teremos:


log ̼ (3) - [log ̼ (3) - log ̼ (10)] = 1 ---- retirando-se as chaves, ficaremos:

log ̼ (3) - log ̼ (3) + log ̼ (10) = 1 ----- reduzindo-se os termos semelhantes, iremos ficar apenas com: 

log ̼ (10) = 1 ----- agora veja que, conforme a definição de logaritmo, o que temos aqui é a mesma coisa que:

n¹ = 10 ---- ou apenas:
n = 10 <---- Este é o valor da base "n", da função: f(x) = m+log ̼ (x)


iv) Agora, para encontrar qual é o valor de "m", vamos em quaisquer uma das expressões. Vamos na expressão (I), que é esta:

m + log ̼ (3) = 0 ----- substituindo-se "n" por "10", ficaremos com:

m + log₁₀ (3) = 0 ----- passando log₁₀ (3) para o 2º membro, temos:

m = - log₁₀ (3)       . (III) 


v) Agora vamos encontrar qual é a inversa da função abaixo:

f(x) = m +  log ̼ (x)

Como já sabemos que "m" = - log₁₀ (3) , conforme vimos na expressão (III) e substituindo-se "n" por "10", teremos, pois já vimos que a base "n" é igual a "10", teremos:

f(x) = - log₁₀ (3) + log₁₀ (x) ---- veja que poderemos reescrever assim:
f(x) = -1*log₁₀ (3) + log₁₀ (x) ---- passando o "-1" para expoente, teremos:

f(x) = log₁₀ (3⁻¹)  + log₁₀ (x) ---- note que a soma transforma-se em produto. Logo:

f(x) = log₁₀ (3⁻¹ *x) ----- como 3⁻¹ = 1/3¹ = 1/3, teremos:
f(x) = log₁₀ ((1/3)*x)) -- ou:
f(x) = log₁₀ (1*x/3) --- ou apenas:
f(x) = log₁₀ (x/3) 

Agora vamos aos passos para encontrar a inversa. Para isso fazemos:

v.a) trocamos f(x) por "y", ficando:

y = log₁₀ (x/3)
 

v.b) Agora trocamos "y" por "x" e "x" por "y", com o que ficaremos:

x = log₁₀ (y/3) ----- agora veja: o que temos aí ao lado é a mesma coisa que:

y/3 = 10˟ ----- multiplicando em cruz, teremos:
y = 3*10˟ ----- veja que esta já é a inversa de f(x). Vamos apenas trocar "y" pelo símbolo tradicional de funções inversas que é f⁻¹(x). Assim, ficaremos com:

f⁻¹(x) = 3*10˟

Bem, como já temos a inversa, agora vamos encontrar o que está sendo pedido, que é: f⁻¹(2). Para isso, iremos na inversas acima e substituiremos "x" por "2". Assim, teremos:

f⁻¹(2) = 3*10² ----- como 10² = 100, teremos;
f⁻¹(2) = 3*100 ---- como este produto dá "300", então:
f⁻¹(2) = 300 <----- Esta é a resposta.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.