Question

Considere R o conjunto dos números reais. Os valores reais de x que satisfazem a desigualdade [(x-1)/(x+2)]>x, são:

Answer 1

Resolver a inequação:

$\dfrac{x-1}{x+2}>x$


$\bullet\;\;$ Condição de existência. O denominador não pode ser zero:

$x+2\neq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;x \neq -2$


$\bullet\;\;$ Voltando à desigualdade:

Multiplicando ambos os lados por $(x+2)^{2},$ que é um número positivo, o sentido da desigualdade se mantém:

$\dfrac{x-1}{x+2}\cdot (x+2)^{2}>x\cdot (x+2)^{2}\\ \\ \\ (x-1)\cdot (x+2)>x\cdot (x+2)^{2}\\ \\ (x-1)\cdot (x+2)-x\cdot (x+2)^{2}>0$


Colocando $(x+2)$ em evidência no lado esquerdo:

$(x+2)\cdot \left[(x-1)-x\cdot (x+2) \right ]>0\\ \\ (x+2)\cdot \left[x-1-x^{2}-2x \right ]>0\\ \\ (x+2)\cdot \left[-x^{2}-x-1 \right ]>0\\ \\ (x+2)\cdot (x^{2}+x+1)<0\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Vamos observar o segundo fator do lado esquerdo, completando os quadrados:

$x^{2}+x+1\\ \\ =x^{2}+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\\ \\ =(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}>0$


Pela última desigualdade acima, vemos que

$x^{2}+x+1>0$

para qualquer valor real de $x.$


Voltando à desigualdade $\mathbf{(i)},$ para que o produto no lado esquerdo seja negativo, devemos ter

$x+2<0\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}x<-2 \end{array}}$


O conjunto solução é

$S=\{x \in \mathbb{R}\left|\,x<-2\right.\}$


ou escrevendo em notação de intervalos,

$S=(-\infty,\,-2)$