Question

Um balão esférico começa a ser inflado. Qual a taxa de crescimento da área da superfície em relação ao raio, quando este mede 20 cm?

Escolha uma opção:
A. 180π cm²/cm
B. 320π cm²/cm
C. 160π cm²/cm
D. 480π cm²/cm
E. 100π cm²/cm

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas em cálculo diferencial.

Um balão esférico começa a ser inflado. Devemos determinar a taxa de crescimento da área da superfície deste balão em relação ao raio quando este mede $20~cm$.

Lembre-se que a área $A$ de uma superfíce esférica $S$ de raio $r$ é calculada pela fórmula: $A=4\pi\cdot r^2$.

A taxa de variação de uma função de uma ou mais variáveis é calculada como a derivada da função no ponto desejado. Neste caso, a taxa de crescimento da área superficial esférica é calculada como a derivada da área em respeito ao raio.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $r$:

$\dfrac{d}{dr}(A)=\dfrac{d}{dr}(4\pi\cdot r^2)$

Sabendo que $A=A(r)$, lembre-se que:

• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da constante

$A'(r)=4\pi\cdot \dfrac{d}{dr}(r^2)$

Aplique a regra da potência

$A'(r)=4\pi\cdot 2\cdot r^{2-1}$

Some os valores no expoente e multiplique os termos

$A'(r)=8\pi\cdot r$

Então, calculamos a taxa de crescimento da função quando $r=20~cm$

$A'(20)=8\pi\cdot20$

Multiplique os termos

$A'(20)=160\pi~cm^2/cm$

Esta é a taxa de crescimento da função quando $r=20~cm$ e é a resposta contida na letra c).