Question

Sendo f(x)=-2+x-1, determine x tal que f(x) <0

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar "x" tal que f(x) < 0 na seguinte equação do 2º grau (conforme você informou nos comentários):

f(x) = - x² + 2x - 1 

Bem. Antes de mais nada veja que uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax²+bx+c, com raízes iguais a x' e x'', tem a seguinte variação de sinais:

i) Para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes) a função f(x) tem o mesmo sinal do termo "a" (obs: o termo "a" é o coeficiente de x²).
ii) Para valores de "x" iguais às raízes, a função f(x) é igual a zero.
iii) Para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes) a função f(x) tem sinal contrário ao sinal do termo "a".

Bem, vistos esses prolegômenos, vamos resolver a sua questão, que é esta:

f(x) = - x² + 2x - 1

Vamos aplicar Bháskara para encontrar as suas raízes. Para isso, fazemos f(x) = 0. Assim:

- x² + 2x - 1 = 0 ----- aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes:

x' = x'' = 1 (ou seja, a função tem duas raízes iguais a "1".

Agora que já vimos quais são as duas raízes (que são duas raízes iguais), vamos analisar a variação de sinais da função.

- x² + 2x - 1...- - - - - - - - - - - - (1) - - - - - - - - - - - - - - - -

Note que que a função acima será menor do que zero para valores de "x" menores do que "1" e para valores de "x" maiores do que "1".
Veja que o termo "a" da função é negativo. E, sendo negativo o termo "a", então f(x) será negativo para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes).
E f(x) será igual a zero, para valores de "x" iguais às raízes (que, no caso, são duas raízes iguais a "1").
Como se vê a função f(x) só tem duas variações. Ou é igual a zero (quando "x" for igual a "1") ou é negativo, quando os valores de "x" forem extrarraízes (ou seja, têm o mesmo sinal do termo "a", que é negativo).

Assim, respondendo à questão, temos que f(x) será menor do que zero para valores de "x" diferentes de "1" (pois quando "x" for "1" f(x) será igual a zero), como vimos no gráfico acima.
Logo, teremos:

f(x) < 0, para x ≠ 1  -------- Esta é a resposta.

Ou, o que é a mesma coisa: f(x) < 0 para x < 1 ou x > 1

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

f(x) = -x²+2x-1
f(x)<0

-x²+2x-1<0
-(x²-2x+1)<0
x²-2x+1>0
(x-1)²>0

Como o valor está ao quadrado, (x-1)² sempre será maior que zero
Logo, (x-1) pode assumir tanto valores positivos quanto negativos
Ou seja:

x-1>0
x>1
ou 
x-1<0
x<1

Resposta:

x>1 ou x<1 
Também podemos dizer que:
 x pode ser qualquer número real diferente de 1 (IR-{1})