Question

modulo e argumento 1 + i

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o módulo e o argumento do seguinte complexo:

z = 1 + i .

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
 

i) Antes veja que o módulo de um complexo, da forma z = a + bi, é dado por:

|z| = √(a²+b²)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então o módulo do complexo z = 1 + i, será dado por:

|z| = √(1² + 1²)
|z| = √(1+1)
|z| = √(2) <---- Este é o módulo do complexo z = 1 + i.


ii) Agora vamos ao argumento (α).

Veja que um complexo da forma z = a + bi, e módulo igual a |z|, terá o seguinte argumento:

cos(α) = a/|z|
e
sen(α) = b/|z|.

Assim, tendo as relações acima como parâmetro, então o argumento do complexo z = 1 + i e módulo igual a √(2), será:

cos(α) = 1/√(2) ----- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(2). Assim:

cos(α) = 1*√(2) / √(2)*√(2)
cos(α) = √(2) / 2

e

sen(α) = 1/√(2) ----- fazendo o mesmo que fizemos acima para racionalizar, teremos que:

sen(α) = √(2) / 2 .

Agora veja: o cosseno e o seno são iguais a √(2) / 2 , em todo o círculo trigonométrico apenas no arco de 45º (ou π/4).

Assim, o argumento será:

α = 45º (ou π/4 radianos)


iii) Dessa forma, resumindo, temos que:

Módulo: √(2)
Argumento: 45º, o que equivale, em radianos, a π/4.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.