Question

considere a sequência infinita (1/2, 1/4, ..., 1/2...) O numero real s, tal que s=∑(1/2)

Answer 1

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+...$

Essa série é uma série geométrica de razão 1/2

Vimos, em cálculo, que a série geométrica mais simples é da forma

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^{n}$

Essas séries convergem para $\dfrac{x}{1-x}$ se |x| < 1 (é só enxergar a série como a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica)

Como 1/2 é menor que 1, essa série converge, e seu valor é

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\dfrac{(\frac{1}{2})}{1-(\frac{1}{2})}=\dfrac{(\frac{1}{2})}{(\frac{1}{2})}\\\\\\\boxed{\boxed{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}=1}}$