Question

Inequação logarítmica: log3x na base 9 menor ou igual log(x+6) -1 na base 3 é igual a:

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se a seguinte inequação logarítmica, que estamos entendendo que ela esteja escrita da seguinte forma (se não for assim, por favor avise-nos, ok?):

log₉ (3x) ≤ log₃ (x+6) - 1

Antes vamos ver quais são as condições de existência, pois só existem logaritmos de números que sejam maiores do que zero. Logo, deveremos ter que:

3x > 0
x > 0/3
x > 0
e
x+6 > 0
x > - 6

Entre "x" ser maior do que zero e maior do que "-6", prevalece a condição de maior do que zero, pois sendo "x" maior do que "0" já é maior do que "-6".
Logo, a única condição de existência será que:

x > 0 .

Bem, já sabendo qual é a condição de existência, vamos continuar com o desenvolvimento da nossa inequação, que é:

log₉ (3x) ≤ log₃ (x+6) - 1

Note que o "1" que está no 2º membro da desigualdade, poderá ser reescrito da seguinte forma: log₃ (3), pois é igual a "1" o logaritmo cujo número é igual à base. Assim, poderemos reescrever da seguinte forma:

log₉ (3x) ≤ log₃ (x+6) - log₃ (3)

Note que, no 2º membro, poderemos transformar a subtração em divisão, com o que ficaremos assim:

log₉ (3x) ≤ log₃ [(x+6)/3] ----- note que 9 = 3². Assim:
log₃² (3x) ≤ log₃ [(x+6)/3]

Veja que o inverso do expoente da base passa a multiplicar o respectivo log, pelo que ficaremos da seguinte forma:

(1/2)*log₃ (3x) ≤ log₃ [(x+6)/3] --- passando "1/2" como expoente, teremos:

log₃ (3x)¹/² ≤ log₃ [(x+6)/3]

Como as bases são iguais e são maiores do que "1", então poderemos comparar os dois membros com o mesmo sinal da desigualdade (≤). Assim, poderemos fazer que:

(3x)¹/² ≤ (x+6)/3 ----- note que (3x)¹/² = √(3x). Assim, substituindo, teremos:

√(3x) ≤ (x+6)/3 ---- para eliminar o radical do 1º membro, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando;

[√(3x)]² ≤ [(x+6)/3]² ---- desenvolvendo, teremos:
3x ≤ (x²+12x+36)/9 ---- multiplicando em cruz, teremos:
9*3x ≤ x² + 12x + 36
27x ≤ x² + 12x + 36 ---- passando "27x" para o 2º membro, teremos:
0 ≤ x² + 12x + 36 - 27x ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 ≤ x² - 15x + 36 ----- ou, invertendo-se, teremos:
x² - 15x + 36 ≥ 0

Agora vamos estudar a variação de sinais da inequação acima. Para isso, encontraremos as raízes de "x²-15x+36 = 0" e, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais da inequação.
Assim, aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = 3
x'' = 12

Agora vamos à variação de sinais da inequação dada, em função das raízes encontradas. Logo:

x² - 15x + 36 ≥ 0 .. +++++++++(3) - - - - - - - - - - - - (12)++++++++++++++++

Como você vê, a inequação será positiva para x ≤ 3 ou para x ≥ 12.
Contudo, como "x" terá que ser MAIOR do que zero, conforme vimos nas condições de existência, então teremos que o conjunto-solução da inequação dada será:

0 < x ≤ 3 ou x ≥ 12 ------ Esta é a resposta. Este é o conjunto-solução da inequação dada.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x∈ R | 0 < x ≤ 3 ou x ≥ 12}

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado da seguinte forma, o que significa o mesmo:

S = (0; 3] U [12; +∞)


Deu pra entender bem todo o desenvolvimento?

OK?
Adjemir.