Question

Questão de logaritmo

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\log_{ \frac{1}{3} }(3 \sqrt{3} ) - \log_{2 } \left( \frac{1}{4} \right ) + \log(10)$

Para iniciar a resolução dessa expressão, vamos logo lembrar que quando o logarítmo não apresenta base, quer dizer então que a base dele é 10 e também sabemos que quando a base e o logaritmando são iguais ($\boxed{ \bullet \: \: \log_{a}(a) = 1} \: \: \bullet$) , o resultado é 1. Então podemos dizer que:

$\log(10) = 1$

Substituindo essa informação:

$\log_{ \frac{1}{3} }(3 \sqrt{3} ) - \log_{2 } \left( \frac{1}{4} \right ) + 1$

Aplicando a propriedade do produto, temos:

$\log_{ \frac{1}{3} }(3 .\sqrt{3} ) \to \log_{ \frac{1}{3} }(3) + \log_{ \frac{1}{3} }( \sqrt{3} )$

Substituindo essa expansão:

$\log_{ \frac{1}{3} }(3) + \log_{ \frac{1}{3} }( \sqrt{3} ) - \log_{2 } \left( \frac{1}{4} \right ) + 1 \\ \log_{ \frac{1}{3} }(3) + \log_{ \frac{1}{3} }(3 {}^{ \frac{1}{2} } ) - \log_{2 } \left( \frac{1}{4} \right ) + 1$

Podemos aplicar a propriedade do expoente:

$\log_{ \frac{1}{3} }(3 {}^{ \frac{1}{2} } ) = \frac{1}{2} . \log_{ \frac{1}{3} }(3)$

Substituindo essa informação:

$\log_{ \frac{1}{3} }(3) + \frac{1}{2}. \log_{ \frac{1}{3} }(3 ) - \log_{2 } \left( \frac{1}{4} \right ) + 1$

Agora para resolver esses outros logarítmos devemos usar a definição de log, que no diz:

• A base elevada ao logaritmo é igual ao logaritmando.

Matematicamente tem-se:

$\boxed { \log_{a}(b) = c \: \: \to \: \: a {}^{c} = b}$

Aplicando a definição, temos:

$\log_{ \frac{1}{3} }(3) = x \: \to \: \left( \frac{1}{3} \right) {}^{x} = 3 \: \to \: 3 {}^{ - x} = 3 \: \to \: x = - 1 \: \: \: \: \: \\ \\ \log_{2} \left( \frac{1}{4} \right ) = x \: \to \: 2 {}^{x} = \left( \frac{1}{4} \right ) \: \to \: 2 {}^{x} = 2 {}^{ - 2} \: \to \: x = - 2$

Substituindo esses valores que encontramos:

$\log_{ \frac{1}{3} }(3) + \frac{1}{2} . \log_{ \frac{1}{3} }(3) - \log_{2}\left( \frac{1}{4} \right ) + 1 \\ \\ - 1 + \frac{1}{2} .( - 1) -( - 2) + 1 \: \: \to \: \: - 1 - \frac{1}{2} + 2 + 1 \\ \\ - \frac{3}{2} + 3 \: \: \to \: \: \frac{ - 3 + 6}{2} \: \: \to \: \: \boxed{\frac{3}{2} \: \: ou \: \: 1.5}$

Espero ter ajudado