Question

considere um sistema cartesiano ortogonal R³ no qual cada unidade marcada em seus eixos corresponde a 1 cm, e, nesse sistema, um triângulo ABC cujos vértices são A=( 0,0,0), B=( 7,7,0) e C=(5,1,0). A área, em cm², desse triângulo é=

Answer 1

A área deste triângulo é calculada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores AB e AC dividido por 2. 

(|ABxAC|)/2

Para encontrar as coordenadas destes vetores, basta subtrair o ponto final pelo inicial. Em AB, B é o ponto final e A é o ponto inicial:
AB = (7,7,0)-(0,0,0) = (7,7,0)
Para AC o procedimento é o mesmo:
AC = (5,1,0)-(0,0,0) = (5,1,0)

O produto vetorial corresponde ao determinante da matriz:

i   j  k
7 7 0
5 1 0

Det = 0i + 0j + 7k - 35k - 0i - 0j
       = (0-0)i-(0-0)j+(7-35)k
       = 0i+0j-28k
Det = ABxAC = (0,0,-28)

Para calcular o módulo desse vetor, a fórmula utilizada é:
√a^2 + b^2 + c^2
√0^2 + 0^2 + (-28)^2
√0+0+784
√784 = 28 = |ABxAC|

Portanto, o módulo é 28. 
Agora, basta dividir este módulo por 2:
28/2 = 14

Resposta: 14 cm²