Question

Se α é uma raiz da equaçao x^2+x+n=0 onde n é um inteiro positivo, podemos afirmar que |α| é igual a:

OBS: a resposta correta segundo o gabarito que tenho é raiz quadrada de n.

Answer 1

$x^{2}+x+n=0~~\longrightarrow~~\boxed{\boxed{a=1~~~b=1~~~c=n}}$

Usando a fórmula de bhaskara:

$\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=1^{2}-4\cdot1\cdot n\\\Delta=1-4n$

(1 - 4n) é maior que zero se n < 1 / 4. Como n é inteiro positivo, o único número que satisfaz n < 1 / 4 é n = 0, que é descartado, já que n é positivo

Então, 1 - 4n é menor que zero e, portanto, as raízes da equação são complexas

$\Delta=1-4n\\\Delta=(-1)\cdot(4n-1)\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{-1}\sqrt{4n-1}\\\sqrt{\Delta}=i\sqrt{4n-1}\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm i\sqrt{4n-1}}{2\cdot1}=\dfrac{-1\pm i\sqrt{4n-1}}{2}$

Logo, as raízes da equação são

$x'=\dfrac{-1+i\sqrt{4n-1}}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{4n-1}}{2}i\\\\\\x''=\dfrac{-1-i\sqrt{4n-1}}{2}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{4n-1}}{2}i$

Uma raiz é conjugado da outra e, portanto, os módulos delas são iguais

Portanto, vamos definir alfa como

$\boxed{\boxed{\alpha=x'}}$

Achando o módulo de x' (que é igual ao módulo de x''):

$|\alpha|=\sqrt{(parte~real)^{2}+(parte~imagin\'aria)^{2}}\\\\|\alpha|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{4n-1}}{2}\right)^{2}}\\\\\\|\alpha|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{4n-1}{4}}\\\\\\|\alpha|=\sqrt{\dfrac{1+4n-1}{4}}\\\\\\|\alpha|=\sqrt{\dfrac{4n}{4}}\\\\\\\boxed{\boxed{|\alpha|=\sqrt{n}}}$