Question

As medidas dos lados de um triângulo retângulo, forma uma PA de razão 5.Determine as medidas dos lados desse triângulo. (sugestão utilize o teorema dos Pitágoras para esquematizar o problema).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mery, se o triângulo é retângulo e as medidas dos seus três lados (hipotenusa e dois catetos) formam uma PA de razão igual a "5", então chamaremos os lados desse triângulo retângulo da seguinte forma:

1º lado (cateto menor): x - 5
2º lado (cateto médio): x
3º lado (hipotenusa): x + 5

Note, a propósito, que estamos chamando o 3º lado de hipotenusa porque é o maior lado, pois se um é "x-5", o outro é "x", então o maior lado será "x+5".
Assim, aplicando Pitágoras, teremos (a hipotenusa ao quadrado é igual à soma de cada cateto ao quadrado). Assim:

(x+5)² = (x-5)² + x² ------- desenvolvendo, teremos:

x² + 10x + 25 = x² -10x+25 + x² ------- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, teremos:

x² + 10x + 25 = 2x² - 10x + 25 ----- agora vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando assim:

0 = 2x² - 10x + 25 - x²- 10x - 25 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos:

0 = x² - 20x ----- vamos apenas inverter, ficando:

x²- 20x = 0 ----- vamos colocar "x" em evidência, ficando:

x*(x - 20) = 0 ---- Veja que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 -----> x' = 0 <--- Raiz descartada, pois a medida não pode ser zero.
ou
x-20 = 0 ---> x'' = 20 <---- Raiz válida. 

Assim, como você viu aí em cima, teremos que o valor de "x" será: 

x = 20 u.m. ------- (u.m. = unidades de medida).
 

Agora vamos determinar a medida de cada lado desse triângulo.
Para isso, vamos nas medidas dos três lados, que já havíamos decidido antes, pelo fato de esses lados estarem em PA de razão "5":


1º lado (cateto menor): x-5 -----> 20-5 = 15 u.m.
2º lado (cateto médio): x ---------------> = 20 u.m.
3º lado (hipotenusa): x+5 ------> 20+5 = 25 u.m.

Assim, resumindo, temos que os três lados desse triângulo retângulo são estes:

hipotenusa: 25 u.m.
catetos: 15 u.m. e 20 u.m.

Pronto. A resposta é a que demos aí em cima.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.