Question

Um pescador está a 2 km de um ponto A de uma praia e deseja alcançar um depósito de
combustível no ponto B, a 3 km de A. Sua velocidade na água é de 5 km por hora e na terra é de 13
km por hora. Determine o ponto da praia que deve ser alcançado pelo pescador para chegar ao
depósito no tempo mínimo.

Answer 1

Resposta:

x = $\frac{5}{6}$

f"$(\frac{5}{6} )$ > 0

Explicação passo-a-passo:

No desenho que ilustra o enunciado,  $y = \sqrt{4 + x^{2}}$. Então, a função a ser otimizada (minimização) será:

f(x) = $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{5} + \frac{3 - x}{13}$

Derivando a função f(x) e a igualando a zero:

f'(x) = $-\frac{1}{13} + \frac{x}{5\sqrt{4 + x^{2}} } = 0$

Da derivada f'(x), obtemos x = $\frac{5}{6}$. Calculando a segunda derivada f''(x) de f:

f''(x) = $\frac{4}{5(x^{2}+4)^{\frac{3}{2} } }$  > 0

Logo, f"$(\frac{5}{6} )$ > 0 e x = $\frac{5}{6}$ é o ponto da praia que deve ser alcançado pelo pescador para que ele chegue ao depósito de combustível no tempo mínimo possível.