Question

As EDOS de primeira ordem envolvem uma grande gama de modelos de funções e, basicamente, existem 3 métodos de resolução dessas EDOs.
Resolva a EDO abaixo através do método do fator integrante.

O resultado será:

Answer 1

Temos a seguinte EDO:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y'(x) + \frac{y(x)}{x} = 1$

Escrevendo essa expressão de outra maneira com outras notações, observamos que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} .y = 1$

Observe que essa EDO é do tipo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\frac{dy}{dx} + P(x).y = Q(x) }$

Para resolver esse tipo de EDO devemos primeiro calcular o fator integrante, que é basicamente a integral da relação que multiplica "y", em outras palavras, é basicamente P(x):

• Fator integrante:

$e {}^{ \int P(x) dx} = e {}^{ \int \frac{1}{x} dx} = e {}^{ \ln( x )} = x$

Agora devemos pegar o resultado do fator integrante e multiplicar toda a expressão por ele:

$\: \: \: \: \: \: \: \left( \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} .y \right). x =( 1). x$

A multiplicação do fator integrante pelo primeiro membro, gera basicamente a derivada dele multiplicada pela função "y", então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (x.y)' = x$

Aplicando a integral em ambos os lados:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\int (x.y)' = \int x \: dx \\ x.y = \frac{x {}^{2} }{2} + c$

Multiplicando todos os termos por 1/x:

$(x.y).x {}^{ - 1} = \left( \frac{x {}^{2} }{2} + c\right).x {}^{ - 1} \\ \\ \frac{xy}{x} = \frac{x {}^{2} }{2x} + \frac{c}{x} \\ \\ \boxed{y = \frac{x}{2} + \frac{c}{x} }$

Espero ter ajudado