função quadratica
Vendas
loja vende comisetas
a R$ 50,oo o custo mensal de
produção é
de 4500.00 quartas camisetas
a loja
precisa vender para não ter
prejuizo? Quantas camisetas para obter lucro?
Respostas
Resposta:
Agora é com você!
(a) De acordo com os dados apresentados, verifique que o preço de venda P de x camisetas por mês é dado pela função P(x) = 20 - 0,005 x .
(b) Ache a renda bruta obtida pelo negócio em função do número x de camisetas vendidas em um mês.
Para responder aos dois itens abaixo considere que toda a produção da fábrica é vendida.
(c) Determine o lucro (ou prejuízo) mensal desta fábrica em função do número x de camisetas produzidas.
(d) Ache o número mínimo de camisetas a serem vendidas para que o custo de estampá-las se iguale a renda obtida com a sua venda, isto é, ache o número de camisetas produzidas (e vendidas) a partir do qual a fábrica começa a apresentar lucro.
(e) Quantas camisetas devem ser produzidas para que o lucro da fábrica seja o maior possível?
Análise e Comentários
(a) Analisando os dados da tabela fornecida vemos que [Maple Math] = - 0,005.
Isto indica que a tabela pode ser modelada por uma função afim cujo gráfico é uma reta de declividade - 0,005. Assim, P(x) = -0,005 x + b . Para calcular b , basta observar que o ponto (500; 17,50) pertence a esta reta. Assim, temos que 17,50 = -0,005 ´ 500 + b e daí, resolvendo a equação, encontramos para b o valor de 20.
(b) Como o preço de venda de cada camiseta é dado por P( x ) = 20 - 0,005 x , a renda total mensal R, obtida pela venda de x camisetas será dada por R( x ) = (20 - 0,005 x ) x = 20 x - 0,005 [Maple Math] .
(c) O lucro mensal (ou prejuízo) L, obtido com a venda de x camisetas, será dado por L( x ) = R( x ) - C( x ). Pelos itens anteriores, obtemos que L( x ) = -0,005 [Maple Math] +13 x - 1250.
(d) No quadro ao lado estão traçados, em conjunto, os gráficos das funções R e C. Repare que, no contexto do problema apresentado, o domínio destas funções é o conjunto dos números naturais. No entanto, para simplificar, os gráficos destas funções são traçados como uma linha contínua. (Repare que esta simplificação é razoável pois, para um grande número de camisetas produzidas, a variação de uma unidade é bem pequena e, desse modo os gráficos podem ser aproximados por uma curva contínua.)
[Maple Plot]
Para determinar o nível de vendas a partir do qual a fábrica começa a apresentar lucro, é necessário encontrar os pontos de interseção destas duas funções, isto é, os pontos de interseção da reta C( x ) com a curva R( x ). Estes pontos podem ser encontrados, algebricamente, resolvendo-se a equação 1250 + 7 x = 20 x - 0,005 [Maple Math] , que é equivalente a encontrar as raízes da equação de segundo grau -0,005 [Maple Math] + 13 x -1250 = 0. As raízes desta equação são 100 e 2500. Isto significa que a partir da produção (e venda) de 100 camisetas a fábrica começa a apresentar lucro voltando a ter prejuízo a partir da produção e venda de 2500 camisetas. Você é capaz de explicar por que este comportamento é razoável? (Clique aqui para ajuda).
Repare ainda que este negócio apresentará lucro nos intervalos (valores de x) onde a função L( x ) =-0,005 [Maple Math] +13 x - 1250 for positiva e, prejuízo, nos intervalos onde L for negativa. A figura ao lado, mostra o gráfico de L. O eixo horizontal indica o número de camisetas produzidas e o vertical mostra o lucro (ou prejuízo), em reais.
unitário.)
[Maple Plot]
A função L é um exemplo de uma função quadrática, isto é de uma função que pode ser escrita na forma [Maple Math] , onde a , b e c são números reais quaisquer e [Maple Math] . As próximas seções são dedicadas ao estudo das principais características e propriedades destas funções. Este estudo permitirá resolver problemas de vários tipos que são modelados por funções quadráticas. Em particular, será possível determinar com precisão o ponto V' que indica o número de camisetas a serem fabricadas de tal modo que o negócio apresente o maior lucro possível