Question

Resolva a equação trigonométrica:

$\large\sf sen^3x+cos^3x=1$

Answer 1

Resposta:

S = {x ∈ IR/ x = $\frac{\pi }{2} + 2k\pi$ ou x = 2kπ, k ∈ Z}

Explicação passo-a-passo:

1) a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

2) sen²α + cos²α = 1

3) senα = cos($\frac{\pi }{2} -\alpha )$

4) senα + senβ =$2sen\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}$

5) As possíveis raízes da equação equação de 5°, y⁵ - 3y³ + 4y - 2 = 0, são divisores do termo independente, ou seja: -2, -1, 1, 2

$sen^3{x}+ cos^3x = 1\implies senx=\sqrt[3]{1-cos^3x} \\\\Fazendo\:cosx=y\\\\senx=\sqrt[3]{1-y^3} \\\\sen^2x+cos^2x=1\\\\sen^2x=1-cos^2x\\\\(\sqrt[3]{1-y^3})^{2} =1-y^2\:Elevando\\\\\/ao\;cubo\\\\(1-y^3)^2=(1-y^2)^3\\\\1-2y^3+y^6=1-3y^2+3y^4-y^6\\\\y^6-3y^4+4y^2-2y=0\\\\y(y^5-3y^3+4y-2)=0\\\\y=0\;ou\\\\(y^5-3y^3+4y-2)=0,\:veja\:na\:imagem\:a\:equa.\:resolvida.\:Logo\:y=0\:ou\\\;y=1\\\\cosx=0\\\\x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \:\\\\cosx=1 \\\\x=0+2k\pi \\\\x=2k\pi$