Question

O produto de três números é 192. Calcule-os sabendo que são inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.

Answer 1

Vamos lá

Veja, Nessinha, que a questão, até certo ponto, é fácil de responder.
Vamos fazer o seguinte: chamaremos de "a", "b" e "c" esses três números, que são INVERSAMENTE proporcionais a "3", "4" e "6".

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. Assim, teremos:


i) Como o produto desses três números é igual a "192", então faremos:

abc = 192        . (I)


ii) Como esses três números são INVERSAMENTE proporcionais a "3", "4" e "6", então cada número, dividido pelo inverso de cada parte, deverá ser igual, ou seja, deveremos ter isto:

a/(1/3) = b/(1/4) = c/(1/6) .    (II)


iii) Veja: como as relações expostas na expressão (II) conduzem-nos à uma igualdade entre elas, então poderemos igualá-las duas a duas, sem nenhum problema.
Dessa forma, poderemos fazer isto:

a/(1/3) = c/(1/6) ----- multiplicando-se em cruz, teremos;
a*1/6 = c*1/3 --- ou apenas:
a/6 = c/3 ----- multiplicando-se em cruz novamente, teremos:
3*a = 6*c ----- ou apenas:
3a = 6c
a = 6c/3 --- ou apenas (dividindo-se "6" por "3"):
a = 2c   <----- Este é o valor de "a" em função de "c".

Agora faremos a mesma coisa com a razão que contém o número "b", ou seja, faremos:

b/(1/4) = c/(1/6) ------ multiplicando-se em cruz, teremos:

b*1/6 = c*1/4 ---- ou:
b/6 = c/4 ---- multiplicando-se em cruz novamente, temos:
4*b = 6*c --- ou apenas:
4b = 6c
b = 6c/4 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:

b = 3c/2  <----- Este é o valor de "b" em função de "c".


iv) Agora, que já temos o valor de "a" (que é: a = 2c) e temos o valor de "b" (que é: b = 3c/2), vamos para a expressão (I), que é esta:

abc = 192 ----- substituindo-se "a" e "b" por seus valores vistos aí em cima, teremos:

2c*(3c/2)*c = 192 ----- ou, o que é a mesma coisa:

(2c*3c*c)/2 = 192
6c³/2 = 192 ---- multiplicando-se em cruz, ficamos:
6c³ = 2*192
6c³ = 384
c³ = 384/6
c³ = 64
c = ∛(64) ---- note que ∛(64) = 4, pois: 4³ = 64. Logo:

c = 4 <---- Este será o valor do número "c".

Agora, para encontrar o valor dos demais números ("a" e "b"), vamos nas seguintes igualdades já vistas antes:

a = 2c ------ substituindo-se "c" por "4", teremos:
a = 2*4
a = 8 <----- Este será o valor do número "a".

E, para encontrar o número "b", vamos na outra igualdade, que era esta:

b = 3c/2 ----- substituindo-se "c" por "4", teremos:
b = 3*4/2
b = 12/2
b = 6 <---- Este é o valor do número "b".


v) Assim, resumindo, temos que os três números procurados, que são INVERSAMENTE proporcionais a "3", "4" e "6" , e cujo produto é 192, serão estes:

"8", "6" e "4" <---- Esta é a resposta.

Note, a propósito, que os números são estes mesmos. Veja:o produto dá igual a 192 (pois: 8*6*4 = 192) e que são inversamente proporcionais a "3", "4" e "6" (pois: 8/(1/3) = 6/(1/4) = 4/(1/6)  --> 8*3 = 6*4 = 4*6 --> 24 = 24 = 24)

Deu pra entender bem todo o desenvolvimento?

OK?
Adjemir.