Question

Um grupo de oito alunos está sendo liderado em um
passeio por dois professores e, em determinado
momento, deve se dividir em dois subgrupos. Cada
professor irá liderar um dos subgrupos e cada aluno
deverá escolher um professor.
A única restrição é que cada subgrupo deve ter no
mínimo um aluno.
O número de maneiras distintas de essa subdivisão ser
feita é
A)128. B) 64 C) 248. D) 254. E) 256.

Answer 1

Boa noite!

Temos 8 alunos.
Dois grupos com pelo menos 1 aluno em cada:
Podemos gerar, com 8 alunos, 8 combinações com 1 aluno.
Depois com 2 alunos, $\binom{8}{2}$ e assim sucessivamente até 7 alunos.
$\binom{8}{1}+\binom{8}{2}+\binom{8}{3}+\ldots+\binom{8}{7}$

Usando uma propriedade e, percebendo que só não utilizamos a combinação com 0 e com 8, teremos:
$2^8-\binom{8}{0}-\binom{8}{8}=256-1-1=254$

Espero ter ajudado!

Answer 2

O número de maneiras distintas de essa subdivisão ser  feita é 254.

Note que cada grupo deve sempre ter um professor e pelo menos um aluno, logo, podemos combinar o número de alunos em grupos menores que 8, como 7 e 1, 6 e 2, 5 e 3 ou 4 e 4.

Utilizando a fórmula da combinação (Cn,x = n!/(n-x)!x!), temos que somar as combinações acima:

k = C8,1 + C8,2 + C8,3 + C8,4 + C8,5 + C8,6 + C8,7

k = 8!/(8-1)!1! + 8!/(8-2)!2! + 8!/(8-3)!3! + 8!/(8-4)!4! + 8!/(8-5)!5! + 8!/(8-6)!6! + 8!/(8-7)!7!

k = 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8

k = 254

Resposta: D

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