Question

A constante “c” que satisfaz a equação y' = 10x + 1, além de atender à condição inicial de que y = 20 quando x = 2 é:

a.
-2


b.
-5


c.
7


d.
2


e.
-4

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas proprieades estudadas sobre equações diferenciais ordinárias.

Devemos determinar a constante $C$ que satisfaz a equação $y'=10x+1$ e atende a condição inicial $y(2)=20$.

Primeiro, sabendo que a solução desta equação diferencial é uma família de funções $y=y(x)$, reescrevemos $y'=y'(x)=\dfrac{dy}{dx}$.

$\dfrac{dy}{dx}=10x+1$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dx$

$dy=(10x+1)\cdot dx$

Integramos ambos os lados da igualdade

$\displaystyle{\int dy=\int 10x+1\,dx}$

Para resolvermos estas integrais, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1}$.
• A primeira integral pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int \,dy=\int1\,dy=\int y^0\,dy}$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral do produto entre uma função e uma constante pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.

Aplique a regra da soma e da constante

$\displaystyle{\int dy=\int 10x\,dx+\int 1\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int dy=10\cdot\int x\,dx+\int 1\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C_1=10\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+\dfrac{x^{0+1}}{0+1}+C_2$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$y+C_1=5x^2+x+C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da igualdade e considere $C_2-C_1=C$

$y=5x^2+x+C$

Aplicando a condição inicial $y(2)=20$, teremos:

$20=5\cdot 2^2+2+C$

Calcule a potência, multiplique e some os termos

$20=22+C$

Subtraia $22$ em ambos os lados da igualdade

$C=-2~~\checkmark$

Este é o valor da constante que satisfaz a equação diferencial e condição inicial pedida pelo enunciado e é a resposta contida na letra a).