Question

Verifique se existe a ∈ R tal que f(x) = $\left \{ {{ 1 + ax , x \leq 0} \atop {x^4 + 2a , x \ \textgreater \ 0}} \right. }$ seja cont´ınua em R

Answer 1

1) Ver si la función está definida en x = 0, es decir
                                             f(0) = 1 + a(0)
                                                f(0) = 1

2) Ver si existe límite en x = 0
Los límites laterales deben ser iguales
              $\lim\limits_{x\to0^-}f(x) = 1+a(0) = 1\\ \\ \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=0^4+2a = 2a\\ \\ \\ 2a=1\Longrightarrow a=\dfrac{1}{2}$

3) Continuidad en x = 0
                              $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=f(0)$

Lo cuál se verifica y por ende, f es continua en x = 0

Por otra parte los polinomios son continuos en todo $\mathbb R$ y por tal razón, f e contínua  em $\mathbb R$