Question

4) Determine a equação da reta tangente em (p,f(p)), sendo f(x) = x^2– x e p=1; Determine também a equação da reta normal neste mesmo ponto.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Seja uma curva $\mathcal{C}$ dada pelo gráfico da função $f(x)$. As equações das retas tangente e normal à curva em um ponto $(p,~f(p))$ pertencente ao seu domínio $\mathcal{D}$ podem ser calculadas pelas fórmulas:

$\underline{Equa\c{c}\~ao~da~reta~tangente:}\\\\ y=f(p)+f'(p)\cdot(x-p)\\\\\\\underline{Equa\c{c}\~ao~da~reta~normal:}\\\\ y=f(p)-\dfrac{1}{f'(p)}\cdot(x-p)$

Então, devemos determinar as equações das retas tangente e normal à curva dada pelo gráfico da função $f(x)=x^2-x$ no ponto $(1,~f(1))$.

Primeiro, calculamos o ponto $f(1)$

$f(1)=1^2-1\\\\\\ f(1)=1-1\\\\\\ f(1)=0$

Agora, calculamos a derivada da função

$(f(x))'=(x^2-x)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A potência $x=x^1$.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(x^2)'-(x)'$

Aplique a regra da potência

$f'(x)=2\cdot x^{2-1}-1\cdot x^{1-1}\\\\\\ f'(x)=2\cdot x^1-1\cdot x^0\\\\\\ f'(x)=2\cdot x-1\cdot 1\\\\\\ f'(x)=2x-1$

Calcule o valor da derivada da função no ponto $x=1$

$f'(1)=2\cdot1-1\\\\\\ f'(1)=2-1\\\\\\ f'(1)=1$

Substituindo estes resultados na fórmula para as equações das retas tangente e normal, teremos:

A equação da reta tangente à curva:

$y=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)\\\\\\\ y=0+1\cdot(x-1)\\\\\\ \boxed{y=x-1}$

A equação da reta normal à curva:

$y=f(1)-\dfrac{1}{f'(1)}\cdot(x-1)\\\\\\\ y=0-\dfrac{1}{1}\cdot(x-1)\\\\\\ y=-(x-1)\\\\\\ \boxed{y=1-x}$

Esta são as equações das retas tangente e normal à curva dada pelo gráfico da função $f(x)=x^2-x$ no ponto $(1,~f(1))$.

Observe a imagem em anexo: em azul, temos o gráfico da função $f(x)$ e, em verde e vermelho, respectivamente, o gráfico das retas tangente e normal a ela no ponto desejado.