Question

valores maximo e minimo da função f no intervalo dado. x^3-6x^2+5 [-3,5]

Answer 1

Os candidatos a ponto de máximo ou mínimo são: Os extremos do intervalo onde a função está definida e os pontos críticos da função (pontos onde a derivada não existe ou é nula)
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$f(x)=x^{3}-6x^{2}+5$

Derivando a função:

$f'(x)=\dfrac{d}{dx}(x^{3}-6x^{2}+5)=3x^{2}-6\cdot2x+0=3x^{2}-12x$

A derivada é uma função polinomial, logo não há pontos onde essa função não é definida (funções polinomiais possuem domínio lR), então os únicos pontos críticos ocorrem quando f'(x) = 0

Achando as raízes da derivada:

$f'(x)=0\\\\3x^{2}-12x=0\\\\3x\cdot(x-4)=0~\begin{cases}4x=0~~~~~~~\therefore~~~x=0\\x-4=0~~~\therefore~~~x=4\end{cases}$

Fazendo o estudo de sinais da derivada:

f'(x) = 3x² - 12x possui como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima (já que 3 > 0). Como f'(x) possui duas raízes reais e distintas, vemos facilmente que f'(x) < 0 entre as raízes (exclusive) e não-negativa em todo o resto do domínio

Então, temos que

$f'(x)~\textgreater~0~~se~x\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)~~(f(x)~\'e~crescente)\\f'(x)~\textless~0~~se~x\in(0,4)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(f(x)~\'e~decrescente)$

Como f é crescente se x < 0  e decrescente se x > 0 (para x < 4), então temos um ponto de máximo em x = 0

A função é decrescente se x < 4 (para x > 0) e crescente se x > 4, então f tem ponto de mínimo em x = 4

Verificando os valores de f para x = - 3, x = 0, x = 4 e x = 5:

$f(-3)=(-3)^{3}-6(-3)^{2}+5=-27-6(9)+5=-22-54=-76\\\\f(0)=0^{3}-6(0)^{2}+5=5\\\\f(4)=4^{3}-6(4)^{2}+5=64-6(16)+5=64-96+5=-27\\\\f(5)=5^{3}-6(5)^{2}+5=125-6(25)+5=125-150+5=-20$

Comparando os valores, vemos que (-3,-76) é o ponto de mínimo global da função nesse intervalo, (0,5) é ponto de máximo global da função no intervalo