Question

ALGUEM ME AJUDA?

O gráfico da função quadrática definida por y = x² – mx + (m – 1), em que m Є R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Determine y associado ao valor de x = 2.

Answer 1

Olá.

Como o gráfico toca o eixo x apenas em um único ponto temos que há apenas uma raiz, então o delta é zero.

Como Δ = 0, tomando por base a função y = x² – mx + (m – 1) e comparando com a forma geral da função quadrática que é y = ax² +bx +c, vemos que

a = 1,   b = -m   e  c = m-1.

Então:

Δ = b² -4ac = (-m)² -4*1*(m-1) = m² -4*(m-1) = m² -4m +4 = 0

m² -4m +4 = 0

(m-2)² = 0

m -2 = 0

m = 2

(Fatorando... mas para encontrar o valor da raiz m pode ser pelo Teorema de Báskara também.)

Achamos m, voltamos na função e substituimos seu valor:

y = x² – mx + (m – 1)

y = x² – 2x + (2 – 1)

y = x² – 2x + 1

Agora o problema pede o valor de y associado ao valor de x = 2

Fazemos y = f(x), onde x = 2, então:

f(x) =  x² – 2x + 1

f(2) = 2² -2*2 +1 = 4 -4 +1 = 1

Portanto, f(2) = 1, ou seja, para x =2, y vale 1.

Isso nos dá o ponto (x, y) = (2, 1) no gráfico da função, como você pode ver na imagem abaixo.

Verifique que para m = 2 o gráfico da função y = x² – 2x + 1 realmente toca o eixo x em apenas um ponto, como pede o exercício, ou seja, a função tem apenas uma raiz.

Bons estudos.