Question

O conjunto solução da inequação (1/16)^2x−3 ≤ (1/8)^2x+2 é:

a) S = {x ∈ R; x < 2}
b) S = {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 5}
c) S = {x ∈ R; x ≥ 9}
d) S = {x ∈ R; x < 9}
e) S = {x ∈ R; −3 ≤ x ≤ 3}

Answer 1

Temos a seguinte inequação exponencial:

$\left( \frac{1}{16} \right) {}^{2x - 3} \leqslant \left( \frac{1}{8} \right) {}^{2x + 2}$

Inicialmente devemos igualar as bases:

$\frac{1}{16} = \frac{1}{2 \: . \: 2 \: . \: 2 \: . \: 2} = \frac{1}{2 {}^{4} } = 2 {}^{ - 4} \\ \\ \frac{1}{8} = \frac{1}{2 \: . \: 2 \: . \: 2} = \frac{1}{2 {}^{3} } = 2 {}^{ - 3} \: \: \: \: \: \:$

Substituindo essas informações:

$(2 {}^{ - 4} ) {}^{2x - 3} \leqslant (2 {}^{ - 3}) {}^{2x + 2} \: \to \: 2 {}^{ - 4.(2x - 3)} \leqslant 2 {}^{ - 3.(2x + 2)} \\ \\ 2^{ - 8x + 12} \leqslant2 {}^{ - 6x - 6}$

Agora devemos obedecer a propriedade:

$A^x\> A^y = x >y, \: \forall A > 1 \\ A^x\ < A^y = x < y, \: \forall A > 1$

A nossa base é maior que 1, então basta resolvermos a inequação com o mesmo sinal:

$- 8 x+ 12 \leqslant - 6x - 6 \: \to \: - 8x + 6x \leqslant - 6 - 12 \\ \\ - 2x \leqslant - 18 \: \to \:( - 2x \leqslant - 18).( - 1) \: \to \: 2x \geqslant 18 \\ \\ x \geqslant \frac{18}{2} \: \to \: \boxed{x \geqslant 9}$

Podemos concluir que:

• Resposta c)

Espero ter ajudado