Question

Seja f(x)= 1 se x>0 e f(x)= -1 se x<0, o limite x->0 f(x) existe ou não? Justifique

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases}1, \: se \: x >0 \\ - 1, \: se \: x < 0\end{cases}$

A questão pergunta se o $\lim_{x\to0}f(x)$ existe. Para isso, devemos usar a propriedade dos limites laterais, que diz:

$\boxed{\lim_{x\to a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\to a {}^{ - } }f(x) \: \to \: \exists \lim_{x\to a}f(x) }$

Analisando os laterais, temos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to0 {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\to0 {}^{ - } }f(x)$

Observe que quando x tende a 0 pela direta, ele se aproxima de 0 por valores maiores que 0, então devemos utilizar a função que caracteriza um x > 0, ou seja, quando f(x) = 1. Do mesmo jeito devemos usar a função x < 0, quando x tende a 0 pela esquerda. Então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to0 {}^{ + } }1= \lim_{x\to0 {}^{ - } } - 1 \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 1 \neq - 1 \: \to \: \: \nexists\lim_{x\to0}f(x)$

Portanto podemos concluir que o limite bilateral não existe, pelo motivo de que os limite laterais não são iguais.

• Resposta: Não existe $\lim_{x\to0}f(x)$ .