Question

Ajuda, por favor:
1) Determinar o valor máximo da função f(x) = 5cosx + 3senx.
2) Determinar o menor valor de A + 2B, sendo 3sen²A + 2sen²B = 1 e sen2A - 2sen2B = 0.

Answer 1

1) $f(x)=5\cos x+3\,\mathrm{sen\,}x$

$f'(x)=-5\,\mathrm{sen\,}x+3\cos x$


Os pontos críticos de $f$ são os valores de $x$ que anulam a derivada de $f:$

$f'(x)=0\\ \\ \Leftrightarrow -5\,\mathrm{sen\,}x+3\cos x=0\\ \\ \Leftrightarrow 3\cos x=-5\,\mathrm{sen\,}x\\ \\ \Rightarrow\;\; 9\cos^{2}x=25\,\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ \Leftrightarrow\;\; 9\cos^{2}x=25\cdot (1-\cos^{2}x)\\ \\ \Leftrightarrow\;\; 9\cos^{2}x=25-25\cos^{2}x\\ \\ \Leftrightarrow\;\; 9\cos^{2}x+25\cos^{2}x=25\\ \\ \Leftrightarrow\;\; 34\cos^{2}x=25\\ \\ \Leftrightarrow\;\; \cos^{2}x=\frac{25}{34}\\ \\ \Leftrightarrow\;\; \cos x=\pm\sqrt{\frac{25}{34}}\\ \\ \Leftrightarrow\;\; \cos x=\pm \frac{5}{\sqrt{34}}$


Encontrando o seno dos pontos críticos, temos

$\mathrm{sen\,}^{2}x=1-\cos^{2}x\\ \\ \mathrm{sen\,}^{2}x=1-\frac{25}{34}\\ \\ \mathrm{sen\,}^{2}x=\frac{34-25}{34}\\ \\ \mathrm{sen\,}^{2}x=\frac{9}{34}\\ \\ \mathrm{sen\,} x=\pm \sqrt{\frac{9}{34}}\\ \\ \mathrm{sen\,} x=\pm \frac{3}{\sqrt{34}}$


Temos duas possibilidades para os valores do seno e do cosseno anulem a derivada de $f:$

$\bullet\;\; \mathrm{sen\,} x=\frac{3}{\sqrt{34}},\;\;\cos x=\frac{5}{\sqrt{34}}\\ \\ \bullet\;\; \mathrm{sen\,} x=-\frac{3}{\sqrt{34}},\;\;\cos x=-\frac{5}{\sqrt{34}}$


A única opção que torna $f$ máxima é quando o seno e o cosseno são ambos positivos:

$\bullet\;\; \mathrm{sen\,} x=\frac{3}{\sqrt{34}},\;\;\cos x=\frac{5}{\sqrt{34}}$


O valor máximo de $f$ é

$f_{\max}=5\cdot \frac{5}{\sqrt{34}}+3\cdot \frac{3}{\sqrt{34}}\\ \\ f_{\max}=\frac{25}{\sqrt{34}}+\frac{9}{\sqrt{34}}\\ \\ f_{\max}=\frac{34}{\sqrt{34}}\\ \\ f_{\max}=\sqrt{34}$

Answer 2

$\left \{ {{3sen^2A+2sen^2B=1} \atop {3sen2A-2sen2B=0}} \right. \\ \left \{ {{3sen^2A=1-2sen^2B} \atop {3sen2A=2sen2B}} \right. =\ \textgreater \ \frac{3sen^2A}{3sen2A} = \frac{cos2B}{2sen2B} \\ \frac{sen^2A}{2senAcosA}= \frac{cos2B}{2sen2B} =\ \textgreater \ \frac{senA}{cosA} = \frac{cos2B}{sen2B} =\ \textgreater \ cosAcos2B=senAsen2B \\ cosAcos2B-senAsen2B=0=\ \textgreater \ cos(A+2B)=0=\ \textgreater \ A+2B= \frac{ \pi }{2}$