Question

Inequação Modular: a) |4-3x|≤5
b)|x²-3x-4|≤6

Answer 1

a) $|4-3x|\leq 5$

$\Leftrightarrow-5\leq4-3x\leq5$


Somando $-4$ a todos os membros da dupla desigualdade:

$\Leftrightarrow-5-4\leq4-3x-4\leq5-4\\ \\ \Leftrightarrow-9\leq-3x\leq 1$


Multiplicando a dupla desigualdade por $-\frac{1}{3},$ o sentido se inverte:

$\Leftrightarrow 9\cdot \left(-\frac{1}{3} \right )\geq x\geq-\frac{1}{3}\\ \\ \Leftrightarrow -\frac{1}{3}\leq x\leq 3$


b) $|x^{2}-3x-4|\leq 6$

$\Leftrightarrow -6\leq x^{2}-3x-4 \leq 6\\ \\ \Leftrightarrow -6+4\leq x^{2}-3x \leq 6+4\\ \\ \Leftrightarrow -2\leq x^{2}-3x \leq 10\\ \\ \Leftrightarrow \begin{cases} -2\leq x^{2}-3x&\;\;\mathbf{(i)}\\ x^{2}-3x\leq 10&\;\;\mathbf{(ii)} \end{cases}$


Resolvendo separadamente as inequações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}:$

$\bullet\;\;-2\leq x^{2}-3x\\ \\ \Leftrightarrow x^{2}-3x\geq -2$


Adicionando $\frac{9}{4}$ aos dois lados, para completar o quadrado no lado esquerdo:

$\Leftrightarrow x^{2}-3x+\frac{9}{4}\geq -2+\frac{9}{4}\\ \\ \Leftrightarrow x^{2}-3x+\frac{9}{4}\geq \frac{-8+9}{4}\\ \\ \Leftrightarrow x^{2}-3x+\frac{9}{4}\geq \frac{1}{4}\\ \\ \Leftrightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}\geq \frac{1}{4}$

Tirando a raiz quadrada dos dois membros, o sentido da desigualdade se mantém:

$\Leftrightarrow \sqrt{(x-\frac{3}{2})^{2}}\geq \sqrt{\frac{1}{4}}\\ \\ \Leftrightarrow \sqrt{(x-\frac{3}{2})^{2}}\geq \frac{1}{2}$


Para qualquer número real $a,$ temos que $\sqrt{a^{2}}=|a|$ (módulo de $a$):

$\Leftrightarrow \left|x-\frac{3}{2}\right|\geq \frac{1}{2}\\ \\ \Leftrightarrow x-\frac{3}{2}\leq -\frac{1}{2}\;\;\text{ ou }\;\;x-\frac{3}{2}\geq \frac{1}{2}\\ \\ \Leftrightarrow x\leq -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\;\;\text{ ou }\;\;x\geq \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\\ \\ \Leftrightarrow x\leq 1\;\;\text{ ou }\;\;x\geq 2$


$\bullet\;\;x^{2}-3x\leq 10\\ \\ \Leftrightarrow x^{2}-3x+\frac{9}{4}\leq 10+\frac{9}{4}\\ \\ \Leftrightarrow x^{2}-3x+\frac{9}{4}\leq \frac{40+9}{4}\\ \\ \Leftrightarrow x^{2}-3x+\frac{9}{4}\leq \frac{49}{4}\\ \\ \Leftrightarrow (x-\frac{3}{2})^{2}\leq \frac{49}{4}\\ \\ \Leftrightarrow \sqrt{(x-\frac{3}{2})^{2}}\leq \sqrt{\frac{49}{4}}\\ \\ \Leftrightarrow \sqrt{(x-\frac{3}{2})^{2}}\leq \frac{7}{2}\\ \\ \Leftrightarrow \left|x-\frac{3}{2}\right|\leq \frac{7}{2}\\ \\ \Leftrightarrow -\frac{7}{2}\leq x-\frac{3}{2} \leq \frac{7}{2}\\ \\ \Leftrightarrow -\frac{7}{2}+\frac{3}{2}\leq x \leq \frac{7}{2}+\frac{3}{2}\\ \\ \Leftrightarrow -2\leq x \leq 5$


Fazendo a interseção entre as soluções das inequações $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ obtemos a solução do sistema:

$-2\leq x \leq 1\;\;\text{ ou }\;\;2\leq x \leq 5$

Answer 2

|4-3x|$\leq$5
|-3x+4| este modulo esta entre -5 e 5.
-5≤-3x+4≤5 ⇒ -5-4≤-3x≤-4-5 ⇒-9≤-3x≤1 dependendo da resposta poderia terminar aqui. s={x∈R/-9≤-3x≤1} mas se caso a questão pedir a resposta assim:
-9x≤-3x≤1 voce faz primeiro uma depois a outra: -9x≤-3x⇒9≥3x ⇒3x≤9 ⇒x≤3 e agora a outra: -3x≤1 ⇒ x≤-1/3 ou seja S={x∈R/-1/3≤X≤3} espero ter ajudado.