Question

calcule o valor de S.
a-S=log10 0,001+log3 3√3-log 8 1
b-S=log√2 8-log10 0,01+ log2 √8.

Answer 1

Vamos lá.

Pelo que está colocado, temos as seguintes questões:


a)


S = log₁₀ (0,001) + log₃ [∛(3)] - log₈ (1) ----- observação: estamos colocando ∛(3), porque você colocou 3√3 e consideramos que esse "3" que você colocou seria o índice do radical de raiz cúbica. Se não for você informa, certo?
Bom, continuando, veja que:

0,001 =  1/1.000. Assim, ficaremos

S = log₁₀ (1/1.000) + log₃ [∛(3)] - log₈ (1) ---- transformando a divisão em subtração, ficaremos da seguinte forma:

S = log₁₀ (1) - log₁₀ (1.000) + log₃ [∛(3)] - log₈ (1)--- note que 1.000 = 10³ e  ∛(3) = 3¹/³. Assim, ficaremos com:

S = log₁₀ (1) - log₁₀ (10³) + log₃ 3¹/³) - log₈ (1) --- passando o expoente multiplicando, teremos:

S = log₁₀ (1) - 3*log₁₀ (10) + (1/3)*log₃ (3) - log₈ (1) .

Agora veja que:

log (1) , em qualquer que seja a base, SEMPRE é igual a "0".
log₁₀ (10) = 1, pois todo logaritmo da base é igual a "1".
log₃ (3) = 1, pelo mesmo motivo acima (todo logaritmo da base é igual a 1).

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

S = 0 - 3*1 + (1/3)*1 - 0  ---- ou apenas:
S = - 3 + 1/3 ----- mmc = 3. Assim, utilizando-o, teremos:

S = (3*(-3) + 1*1)/3
S = (-9 + 1)/3
S = (-8)/3 --- ou apenas:
S = -8/3 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a", se ela estiver escrita exatamente como pensamos.


b)

S = log₂¹/² (8) - log₁₀ (0,01) + log₂ (8¹/²)

Agora veja o que fizemos:

- em logaritmo de "8", na base √(2), transformamos √(2) em 2¹/². Assim, a expressão ficou: logaritmo de "8" na base 2¹/².
e
- em logaritmo de "√8", na base "2", transformamos √8 em 8¹/².

É por isso que a nossa expressão "S" está escrita da forma que explicamos acima. Assim, repetindo-a, teremos:

S = log₂¹/² (8) - log₁₀ (0,01) + log₂ (8¹/²)

Agora veja que: 8 = 2³ e  0,01 = 1/100. Assim, substituindo, teremos;

S = log₂¹/² (2³) - log₁₀ 1/100) + log₂ (2³)¹/²

Note que (2³)¹/² = 2³*¹/² = 2³/² . Assim, ficaremos:

S = log₂¹/² (2³) - log₁₀ (1/100) + log₂ (2³/²) ---- transformando a divisão em subtração, teremos:

S = log₂¹/² (2³) - [log₁₀ (1) - log₁₀ (100)] + log₂ (2³/²) ---- como 100 = 10², teremos:

S = log₂¹/² (2³) - [log₁₀ (1) - log₁₀ (10²)] + log₂ (2³/²)

Agora vamos passar todos os expoentes multiplicando, ficando:

S = 3*log₂¹/² (2) - [log₁₀ (1) - 2*log₁₀ (10)] + (3/2)*log₂ (2)

Agora veja mais uma coisa interessante: o inverso do expoente da base passa a multiplicar o respectivo log, ficando assim:

S = 1/(1/2)*3*log₂ (2) - [log₁₀ (1) - 2*log₁₀ (10)] + (3/2)*log₂ (2)

Note que 1/(1/2) = 2. Assim, ficaremos com:

S = 2*3*log₂ (2) - [log₁₀ (1) - 2*log₁₀ (10)] + (3/2)*log₂ (2) --- ou apenas:

S = 6*log₂ (2) - [log₁₀ (1) - 2*log₁₀ (10)] + (3/2)*log₂ (2)

Agora note:

log₂ (2) e log₁₀ (10) são iguais a "1", pois todo logaritmo da base é 1.
e
log (1) em qualquer base é SEMPRE igual a "0".

Assim, ficaremos com:

S = 6*1 - [0 - 2*1] + (3/2)*1
S = 6 - [0 - 2] + 3/2
S = 6 - [-2] + 3/2 ---- retirando-se os colchetes, ficaremos com:
S = 6 + 2 + 3/2
S = 8 + 3/2 ------ mmc = 2. Assim;
S = (2*8 + 1*3)/2
S = (16 + 3)/2
S = (19)/2
S = 19/2 <--- Esta é a resposta da questão do item "b",  se ela estiver escrita como pensamos.


Deu pra entender bem?


OK?
Adjemir.