Question

Procurar o fator integrante e resolver a equação:
y²dy + ydx - xdy = 0

Answer 1

Ordenemos
                                      $y\,dx+(y^2-x)dy=0$.....(*)

Obvio que no es una EDO exacta, pero intentemos buscar un factor integrante

                    $P(x,y)=y\to P_y=1\\ Q(x,y)=y^2-x\to Q_x =-1$

Cálculo del factor integrante (FI)

           $\displaystyle FI=\exp\int \dfrac{Q_x-P_y}{P}dy\\ \\ FI=\exp\int \dfrac{-2}{y}dy\\ \\ \boxed{FI=\dfrac{1}{y^2}}$

Multiplicamos a la EDO en (*) por FI

      $\dfrac{1}{y}\,dx+\dfrac{y^2-x}{y^2}dy=0\\ \\ f_x(x,y)=\dfrac{1}{y}\to f(x,y)=\dfrac{x}{y}+\phi(y)\\ \\ f_y(x,y)=\dfrac{d}{dy}\left[\dfrac{x}{y}+\phi(y)\right]\\ \\ \dfrac{y^2-x}{y^2}=-\dfrac{x}{y^2}+\phi'(y)\\ \\ \phi'(y) = 1\\ \\ \phi(y)=y\\ \\\text{Entonces:}\\ \\ f(x,y)=\dfrac{x}{y}+y$

Por lo tanto la solución es

                        $\boxed{\boxed{\dfrac{x}{y}+y=C}}$