Considere em R , a equação (m+2) x² - 2mx +(m +1) = 0 na variável x, em que m é um número real
diferente de -2. Análise as afirmativas abaixo e classifique-as em verdadeiro (V) ou falso (F).
( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazia.
( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
( ) Na equação se ∆ <0, então m só poderá assumir valores positivos.
A sequência correta é:
a) V-V-V
b) F-V-F
c) F-F-V
d) V-F-F
Respostas
Explicação passo-a-passo:
• Se ∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes
• Se ∆ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais
• Se ∆ < 0, a equação não possui raízes reais
( V ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
O conjunto solução é vazio, se ∆ < 0
(m + 2).x² - 2m.x + (m + 1) = 0
∆ = (-2m)² - 4.(m + 2).(m + 1)
∆ = 4m² - (4m + 8).(m + 1)
∆ = 4m² - 4m² - 4m - 8m - 8
∆ = -12m - 8
Para ∆ < 0:
-12m - 8 < 0
-12m < 8 .(-1)
12m > -8
m > -8/12
m > -2/3
Assim, para m > -2/3, essa equação não possui raízes reais
Como 2 > -2/3, para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.
( F ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
A equação admite raízes iguais quando ∆ = 0
∆ = -12m - 8
Para ∆ = 0:
-12m - 8 = 0
-12m = 8 .(-1)
12m = -8
m = -8/12
m = -2/3
A equação admite raízes iguais somente para m = -2/3
( F ) Na equação se ∆ < 0, então m só poderá assumir valores positivos.
∆ = -12m - 8
Se ∆ < 0, então -12m - 8 < 0
-12m - 8 < 0
-12m < 8 .(-1)
12m > -8
m > -8/12
m > -2/3
m também poderá assumir valores negativos, do intervalo -2/3 < m < 0. Por exemplo, m = -0,5
Resposta: V-F-F
Letra D