Question

Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de altura 8 cm, sabendo que a área total de sua superfície é o triplo da área lateral.

Answer 1

Seja a a medida da resta da base.
Área do hexágono regular é semiperímetro x apótema.
Apótema = (a√3)/2
Abs = área das bases inferior e superior
Semiperímetro = 3a
Al = Área lateral
At = Área total
V = Volume
Af = área de cada face lateral
Abs = 2.3a.(a√3)/2
Abs = 3a²√3
Af = 8a
Al = 6.8a = 48a
At = 48a + 3a²√3

48a + 3a²√3 = 3.48a (dividir por 3a)
16 + a√3 = 48
a√3 = 32
3a² = 32²
3a² = 1024
a² = 1024/3
V = Ab.h
V = (3a²√3)/2 . 8
V = 3 . (1024/3)(√3) . 4 
V = 1024.4√3
V = 4096√3 cm³

Answer 2

O volume do prisma hexagonal regular de altura 8 cm é 4096√3 cm³.

Vamos considerar que a aresta da base do prisma regular é x.

Como a base do prisma é um hexágono, então a área lateral será igual a seis vezes a área de um retângulo de base x e altura 8.

Assim:

Al = 6.x.8

Al = 48x.

A área total do prisma é igual à soma entre a área lateral e o dobro da área da base.

Vale lembrar que a área de um hexágono regular é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero.

Logo,

$At = 48x + 2.6.\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$

At = 48x + 3x²√3.

De acordo com o enunciado, a área total é igual ao triplo da área lateral, ou seja,

48x + 3x²√3 = 3.48x

48 + 3x√3 = 144

3x√3 = 96

x√3 = 32

x = 32/√3.

O volume do prisma é igual ao produto da área da base pela altura.

Portanto:

$V = 6.\frac{(\frac{32}{\sqrt{3}})^2\sqrt{3}}{4} .8$

$V=6.\frac{\frac{1024}{3}.\sqrt{3}}{4} .8$

$V=2\frac{1024\sqrt{3}}{4} .8$

V = 512√3.8

V = 4096√3 cm³.

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