Question

1) Crie uma frase lógica usando o símbolo ↔ (Se ..., então...)
2) Responda: O que é um teorema?
3) Teorema: ”A soma de dois números naturais pares é um número par.”
Demonstre ou prove o teorema.
4) Teorema: ”A soma de dois números naturais ímpares é um número ímpar.”
Demonstre ou prove o teorema.
Dica : Usaremos a definição o dobro de x = 2x ou o dobro de y = 2y.

Answer 1

Vamos às questões:

1) O símbolo apresentado chama-se bicondicional. Uma proposição bicondicional é uma proposição representada por "p se e somente q", cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade(F) nos demais casos.

Um exemplo para seu uso é:

"Roma fica na Europa se, e somente se, a neve é branca"

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2) Um teorema em matemática é uma afirmação que pode ser provada como verdadeira, utilizando de outras afirmações já demonstradas, como outros teoremas e axiomas (afirmações aceitas sem necessariamente o uso de provas). No geral, garantem o bom funcionamento da matemática.

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3) Vamos provar o teorema.

Um número n é dito par quando é divisível por 2. Logo, se tal número é par, existe k₁ natural tal que n = 2k₁.

Da mesma forma, seja um número natural m também par. Logo, existe k₂ natural tal que m = 2k₂.

Somando n com m obtemos um número da forma 2k₁ + 2k₂  ou 2. (k₁ + k₂) que, como se vê, também é par.

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4) O teorema é falso.

Para provar, tomemos, por exemplo, os ímpares 3 e 5.

Com a soma, 3 + 5 = 8 que é par. Logo, o teorema é falso.

Até mais!