Question

como verificar algebricamente com a operação de adição ( C,+) é um grupo abeliano, verificando todas as propriedades Z1 igual a + bi, Z2 igual a c+do, Z3 igual a e+ fi

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Answer 1

Através dos cálculos realizados podemos afirmar que a estrutura dada é um grupo comutativo ou abeliano.

Um grupo é um a estrutura algébrica que satisfaz três axiomas, são eles : a associatividade, existência do elemento neutro e existência do simétrico. Quando um grupo é abeliano, significa que o grupo é comutativo. Temos a estrutura (C , +) e queremos verificar se ela é um Grupo Abeliano, sendo assim vamos verificar a validade dos axiomas.

É dado que z₁ = a + bi , z₂ = c + di e z₃ = e + fi.

• Associatividade

$\sf{\exists ~z_{1},z_{2},z_{3}~\in~\mathbb{C}, tal~que~(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})}$

$\sf{z_{1}+(z_{2}+z_{3}) =(a + bi) + ((c + di)+(e+fi)) }\\ \\ \sf{~~~~~~~~~~~~~~~~~=(a + bi) + (c + di)+(e+fi)}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~~~~~~~~~=((a + bi) + (c + di))+(e+fi)}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~~~~~~~~~=(z_{1}+z_{2})+z_{3}}$

• Existência de Elemento Neutro

$\sf{\exists ~e~\in~\mathbb{C}, tal~que~x+e=e + x = x~~~\forall~ x ~\in~\mathbb{C}}$

Adotemos z₁

$\sf{z_{1} + e = z_{1}}\\ \\ \sf{e = z_{1}-z_{1}}\\ \\ \sf{e = (a + bi)-(a + bi)}\\ \\ \sf{e = 0}$

• Existência do Simétrico

$\sf{\exists ~z,z^{-1}~\in~\mathbb{C}, tal~que~z+z^{-1}=z^{-1}+z = e}$

Onde z⁻¹ é o simétrico de z !!! Adotemos novamente z₁

$\sf{z_{1}+z^{-1} = e}\\ \\ \sf{z^{-1} = e- z_{1}}\\ \\ \sf{z^{-1} = 0- (a + bi)}\\ \\ \sf{x^{-1}=-a - bi}$

Temos o Simétrico, portanto já podemos denominar a estrutura de Grupo !!! Agora vamos determinar se é comutativo, para podermos aponta-lo como abeliano.

• Comutatividade

$\sf{\exists ~z_{1},z_{2}~\in~\mathbb{C}, tal~que~z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}}$

$\sf{z_{1}+z_{2}=(a + bi)+(c+di)}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~=(c+di)+(a + bi)}\\ \\ \sf{~~~~~~~~~=z_{2}+z_{1}}$

Logo podemos afirmar que (C, +) é um grupo abeliano!!!!

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