Question

Considere o nº complexo Z = 1 + i , então, escrevendo-se esse complexo na forma trigonométrica, obtem-se

Answer 1

Um número complexo z = a + bi, onde

$Re(z)=a~~~~(parte~real~de~z)\\Im(z)=b~~~~(parte~imagin\'aria~de~z)$

pode ser escrito na forma

$z=|z|\cdot(cos~\theta+i\cdot sen~\theta)$

onde

$|z|:~m\'odulo~de~z~~~\rightarrow~~~\boxed{\boxed{|z|=\sqrt{[Re(z)]^{2}+[Im(z)]^{2}}}}\\\\\theta:argumento~de~z~(\^angulo~entre~o~eixo~real~e~\vec{z})$
____________________________________________

$z=1+i~~\rightarrow~~\boxed{\boxed{Re(z)=1,~~Im(z)=1}}$

Achando o módulo de z:

$|z|=\sqrt{(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}}\\\\|z|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}\\\\\boxed{\boxed{|z|=\sqrt{2}}}$

Achando o argumento de z:

Se representarmos o número z no Plano de Argand-Gauss, vemos facilmente que

$tg~\theta=\dfrac{Im(z)}{Re(z)}=\dfrac{1}{1}=1$

Graficamente, vemos que θ pertence ao primeiro quadrante, logo θ = 45º

$\boxed{\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{4}~rad}}$

Escrevendo z na forma trigonométrica:

$z=|z|\cdot(cos~\theta+i\cdot sen~\theta)\\\\\boxed{\boxed{z=\sqrt{2}\cdot\left(cos~\dfrac{\pi}{4}+i\cdot sen~\dfrac{\pi}{4}\right)}}$

Answer 2

Boa noite!

Forma trigonométrica:
$z=a+bi\\ \rho=\sqrt{a^2+b^2}\\ \theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\\ z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$

Então, seguindo o modelo, temos:
$z=1+i\\ \rho=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\\ \theta=\arctan\frac{1}{1}=\frac{\pi}{4}\\ z=\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$

Espero ter ajudado!