Question

Os números reais -1 e 1 são raízes da equação x4 - 6x3 + 9x2 + 6x - 10 = 0. Quais são as outras duas raízes?

Answer 1

P(x) = x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 6x - 10
Se -1 e 1 são raízes da equação, então P(x) é divisível por (x + 1) e por (x - 1)

Dividindo P(x) por (x + 1), temos:
Q(x) = (x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 6x - 10)/(x + 1) = x^3 - 7x^2 + 16x - 10

Dividindo Q(x) por (x - 1), temos:
R(x) = (x^3 - 7x^2 + 16x - 10)/(x - 1) = x^2 - 6x + 10

Em resumo, temos:
P(x) = x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 6x - 10 = (x + 1)(x - 1)(x^2 - 6x + 10)

As duas outras raízes de P(x) são as duas raízes de R(x) = x^2 - 6x +10

Seja: x^2 - 6x +10 = 0
Por Bhaskara:

x = {6 +/- √[(-6)^2 - (4*1*10)]}/2

x1 = {6 + √(36 - 40)}/2
x1 = {6 + √(-4)}/2
x1 = {6 + 2i}/2 = 3 + i

x2 = {6 - √(36 - 40)}/2
x1 = {6 - √(-4)}/2
x1 = {6 - 2i}/2 = 3 - i

Answer 2

Os números reais -1 e 1 são raízes da equação x4 - 6x3 + 9x2 + 6x - 10 = 0. Quais são as outras duas raízes?ACHAR A EQUAÇÃO com as RAIZES
x' = - 1
x" = + 1
USANDO A FÓRMULA
(x - x')(x - x") = 0
(x -(-1))(x - 1)= 
(x + 1)(x - 1) = 0
(x² - 1x + 1x - 1) = 0
 x²         0      - 1 = 0

x² - 1 = 0

ASSIM descobrir QUAL é a OUTRA EQUAÇÃO
  
    x⁴ - 6x³ + 9x² + 6x - 10       |____x² - 1_____ completar NADA ALTERA
 
    x⁴ - 6x³ + 9x² + 6x - 10      |___x² + 0x - 1_________
   -x⁴ - 0x³ +1x²                           x²  - 6x + 10
   ---------------
     0  - 6x³ + 10x² + 6x
        + 6x³  + 0x²  - 6x
         -----------------------
            0     + 10x²   0x    - 10
                   -  10x²  0x     + 10
                    ------------------------
                        0      0          0

AGORA ACHAR AS outra DUAS raizes

x² - 6x  + 10 = 0
a = 1
b = - 6
c = 10
Δ = b² - 4ac
Δ = (6)² - 4(1)(10)
Δ = + 36 - 40
Δ = - 4      ( atenção ) NÃO existe RAIZ REAL
sendo que:  ( número COMPLEXO)

Δ = - 4 ( √ - 4   =√4(-1) )====>  √4(i²)  e (i² = - 1) 
√4i²  = √2²i²   ( elimina a √(raiz quadrada) com o (²))
fica
√-4 =  √Δ = 2i  ( basta SUBSTITUIR √Δ) 

(baskara)
      - b + - √Δ
x = -----------------
           2a

      - (-6) + 2i
x' = ---------------
            2(1)
    
         + 6 + 2i
x' = ---------------- ( divide TUDO por 2) fica = 3 + i
              2

         - (-6) - 2i
x" = -----------------
               2(1)
   
            + 6 - 2i
X" = ------------------  ( divide TUDO por 2) fica = 3 - i
                2


ASSIM as outras DUAS RAÍZES  são:

x'" = 3 + i
x"" = 3 - i