Question

escrever uma equação do segundo grau cujas as raizes sejam
a) 3-i, 3+i e -2
b) 0, 2 e -5

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Allan, se cada uma das equações da sua questão têm 3 raízes, então elas não serão do 2º grau, mas do 3º grau e serão da forma:

ax³ + bx² + cx + d = 0

Agora veja que qualquer equação poderá ser fatorada em função de suas raízes. Assim, uma função do 3º grau, da forma vista aí em cima, com raízes iguais a:  x', x'' e x''', poderá ser fatorada da seguinte forma:

ax³ + bx² + cx + d = a*(x-x')*(x-x'')*(x-x''')

Bem, visto isso, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.


a) Escrever a equação do 3º grau, cujas raízes são: "3-i", "3+i" e "-2".

Veja que a equação do 3º grau terá a forma vista aí em cima, ou seja, terá esta forma:

ax³ + bx² + cx + d = 0

Para facilitar, vamos considerar que o termo "a" seja igual a "1" e, com isso, a equação do 3º grau será esta:

x³ + bx² + cx + d = 0 ----- agora vamos fatorá-la em função de suas raízes, que são: "3-i", "3+i" e "-2" . Assim, e considerando que o termo "a" é igual a "1", teremos;

x³ + bx² + cx + d = 1*(x-(3-i))*(x-(3+i))*(x-(-2))
x³ + bx² + cx + d = (x-3+i)(x-3-i)*(x+2)

Atente que:
(x-3+i)*(x-3-i) = x²-3x-xi - 3x+9+3i + xi-3i+-i² = x²-6x+9-i² --- como i²= -1, então ficaremos com: x²-6x+9-(-1) = x²-6x+9+1 = x² - 6x + 10.
Assim, vamos fazer a devida substituição,  colocando-se, no lugar do produto entre (x-3+i)*(x-3-i), o valor encontrado, que foi (x²-6x+10). Com isso, ficaremos da seguinte forma:

x³ + bx² + cx + d = (x²-6x+10)*(x+2) ---- efetuando-se mais este produto, ficaremos com:

x³ + bx²+ cx + d = x³+2x² - 6x² - 12x + 10x + 20 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:

x³ + bx² + cx + d = x³ - 4x² - 2x + 20

Assim, a equação do 3º grau proposta no item "a" será esta:

x³ - 4x² - 2x + 20 = 0 <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".


b) Escrever a equação do 3º grau cujas raízes sejam: "0",  "2" e "-5" .

Dessa forma, utilizando o mesmo método da questão do item "a", teremos:

x³ + bx² + cx + d = 1*(x-0)*(x-2)*(x-(-5))
x³ + bx² + cx + d = (x)*(x-2)*(x+5)
x³ + bx² + cx + d = (x²-2x)*(x+5)
x³ + bx² + cx + d = x³ + 5x² - 2x² - 10x ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos da seguinte forma:

x³ + bx² + cx + d = x³ + 3x² - 10x .

Desse modo, a equação do 3º grau proposta no item "b" será esta:


x³ + 3x² - 10x = 0 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".



Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.