Question

uffrj 1999:

$\frac{x}{ x^{2} +5x + 6} + \frac{x^{2} -9}{(x-3)^2} = 1$

Answer 1

$\dfrac{x}{x^{2}+5x+6}+\dfrac{x^{2}-9}{(x-3)^{2}}=1\\ \\ \\ \dfrac{x}{(x+3)\,(x+2)}+\dfrac{(x-3)\,(x+3)}{(x-3)^{2}}=1$


Para resolver esta equação, devemos ter $x\neq -3,\;x\neq -2\;\text{ e }\;x\neq 3.$ Como $(x-3)$ aparece no denominador, temos que $(x-3)\neq 0.$
Então, podemos simplificar o numerador e o denominador da segunda fração por $(x-3).$ Simplificando as frações, chegamos a

$\dfrac{x}{(x+3)\,(x+2)}+\dfrac{x+3}{x-3}=1$


Reduzindo a soma do lado esquerdo ao mesmo denominador, temos

$\dfrac{x\,(x-3)+(x+3)^{2}\,(x+2)}{(x+3)\,(x+2)\,(x-3)}=1\\ \\ \\ \dfrac{x^{2}-3x+(x^{2}+6x+9)\,(x+2)}{(x+3)\,(x+2)\,(x-3)}=1\\ \\ \\ \dfrac{x^{2}-3x+(x^{3}+2x^{2}+6x^{2}+12x+9x+18)}{(x+3)\,(x+2)\,(x-3)}=1\\ \\ \\ \dfrac{x^{3}+9x^{2}+18x+18}{(x^{2}+5x+6)\,(x-3)}=1\\ \\ \\ \dfrac{x^{3}+9x^{2}+18x+18}{x^{3}-3x^{2}+5x^{2}-15x+6x-18}=1\\ \\ \\ \dfrac{x^{3}+9x^{2}+18x+18}{x^{3}+2x^{2}-9x-18}=1\\ \\ \\ x^{3}+9x^{2}+18x+18=x^{3}+2x^{2}-9x-18\\ \\ 7x^{2}+27x+36=0\;\;\;\Rightarrow\;\;a=7,\;b=27,\;c=36$


$\Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=27^{2}-4\cdot 7\cdot 36\\ \\ \Delta=729-28\cdot 36\\ \\ \Delta=729-1\,008\\ \\ \Delta=-279<0$


Como o discriminante $\Delta$ é negativo, a equação não tem soluções reais.