Question

(fuvest) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos a soma dos dois primeiros termos vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9.calcule a razão da progressão.

Answer 1

Soma dos dois primeiros termos: 1
A fórmula de soma dos n primeiros termos de uma P.G é:
Sn = a1.(q^n - 1)/q - 1

Para os 2 primeiros termos, temos:
S2 = a1.(q² - 1)/q - 1
1 = a1.(q² - 1)/q - 1

(q² - 1) é um produto notável que representa:
(q² - 1) = (q + 1).(q - 1).
Desse modo:

1 = a1.(q² - 1)/(q - 1)    →   1 = a1. (q + 1).(q - 1)/ (q - 1)
a1.( q + 1) = 1
a1 = 1/ q + 1

A soma dos 2 últimos termos vale 9, ou seja:
a3 + a4 = 9
Sendo a fórmula do termo geral da P.G: a1.q^n-1, temos que:
a3 = a1. q^3-1  →  a3= a1.q²      e
a4 = a1.q^4-1   → a4 = a1.q³
Podemos escrever:
a1.q² + a1.q³ = 9

Como a1 = 1/q + 1, substituimos esse valor de a1 na fórmula:
1.q²/q + 1  + 1.q³/q + 1 = 9       MMC = q + 1
q² + q³ = 9.(q + 1)
q² + q³ = 9q + 9
q³ + q² - 9q - 9 = 0

Colocando os valores em evidência:
q².(q + 1) - 9.(q + 1) = 0
(q + 1).(q² - 9) = 0

Para essa multiplicação ser zero, temos que:
q + 1 = 0      ou   q² - 9 = 0

Sendo q + 1 = 0:
q + 1 = 0       →   q = -1

Sendo q² - 9 = 0:
q² - 9 = 0
q² = 9
q = √9
q = +3  ou  q =-3

Temos três valores da razão encontrados: (-3,-1,3)
Como os 4 termos da P.G são positivos, a razão não pode ser negativa. Logo, a razão é 3.

Answer 2

Segue resolução anexada.